Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E=20N/C，第四象限內(nèi)有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外，大小為B=4

2

，未畫出來．一個(gè)帶正電的粒子質(zhì)量為m=2×10^-5kg，電量為q=5×10^-3C，重力不計(jì)，從y中上的a點(diǎn)以v₀=10m/s的速度垂直 y 軸射入電場．Oa長度為 h=0.01m，粒子通過x軸上的b點(diǎn)進(jìn)入第四象限，粒子經(jīng)圓形磁場后從c點(diǎn)射出第四象限，出射的速度方向與y軸負(fù)方向成75°．（π=3.14）求：
（1）粒子通過b點(diǎn)時(shí)的速度大小及方向．
（2）磁場的最小面積是多少．

Answer 1

分析：（1）粒子第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿豎直方向和水平方向分解該運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合即可求解；
（2）粒子飛入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出粒子的軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧對應(yīng)的弦長，當(dāng)磁場以該弦長為直徑為時(shí)，磁場的面積為最小，即可求得圓形磁場區(qū)的最小面積．

解答：解：（1）在電場中，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)．
y軸方向有：qE=ma，h=

1

2

at2，v_y=at
聯(lián)立得：v_y=

2qEh m

=

2×5×10-3×20×0.01 2×10-5

=10m/s
過b點(diǎn)的速度大小為：v=

v 2 0 + v 2 y

=10

2

m/s
過b點(diǎn)的速度與x軸的夾角為：tanθ=

vy

v0

=1，即θ=45°
所以通過b點(diǎn)速度方向?yàn)榕cx軸成45°角；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓定律得：
  qvB=

mv2

R

解得：R=0.01m；
設(shè)粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧對應(yīng)的弦長為2r，由作圖可知：r=Rsin60°=5

3

×10^-3m
當(dāng)磁場以2r為直徑為時(shí)，磁場的面積是滿足題意的最小面積，即最小面積為：
  S=πr²=2.355×10^-4m²
答：
（1）粒子通過b點(diǎn)時(shí)的速度大小為10

2

m/s，通過b點(diǎn)速度方向?yàn)榕cx軸成45°角．
（2）磁場的最小面積是2.355×10^-4m²．

點(diǎn)評：粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)類型，分析粒子的受力是解題的基礎(chǔ)，本題的關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)得到磁場面積最小的條件．