Question

13．如圖所示，光滑圓柱被固定在水平平臺(tái)上，質(zhì)量為m₁的小球用輕繩跨過(guò)圓柱與質(zhì)量為m₂的小球相連，開(kāi)始時(shí)讓m₁放在平臺(tái)上，兩邊繩子豎直．兩球從靜止開(kāi)始m₁上升，m₂下降．當(dāng)m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷了，發(fā)現(xiàn)m₁恰能平拋運(yùn)動(dòng)，
（1）若已知圓柱半徑為R，求小球m₁到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的m₂的速度；
（2）小球m₁到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)小球重力勢(shì)能的變化量；
（3）求比值m₁：m₂．

Answer 1

分析 （1）m₁恰能平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度方向沿水平方向，由重力剛好提供向心力，根據(jù)向心力公式求出m₁此時(shí)的速度，m₂的速度大小等于m₁的速度大�。�
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出m₂下降的高度，再求解兩個(gè)小球重力勢(shì)能的變化量；
（3）對(duì)兩球組成的系統(tǒng)，由于只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律即可求解m₁：m₂．

解答 解：（1）當(dāng)m₁上升到圓柱的最高點(diǎn)時(shí)m₁恰能平拋運(yùn)動(dòng)，則有：m₁g=m₁$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)幾何關(guān)系可知：當(dāng)m₁上升2R到圓柱體最高點(diǎn)時(shí)，m₂下降R+$\frac{πR}{2}$
小球m₁到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)小球重力勢(shì)能的變化量為△E_p=m₁g•2R-m₂g（R+$\frac{πR}{2}$）
（3）對(duì)兩球組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒有：m₂gR（1+$\frac{π}{2}$）-m₁g•2R=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²
聯(lián)立解得：m₂：m₁=5：（π+1）
答：
（1）小球m₁到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的m₂的速度是$\sqrt{gR}$．
（2）小球m₁到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)小球重力勢(shì)能的變化量為m₁g•2R-m₂g（R+$\frac{πR}{2}$）
（3）m₂：m₁是5：（π+1）．

點(diǎn)評(píng) 該題是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒與圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵要注意隱含條件：恰能做平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度方向沿水平方向，由重力充當(dāng)向心力．