Question

（2010?四川）如圖所示，空間有場(chǎng)強(qiáng)E=0.5N/C的豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，長(zhǎng)l=0.3

3

m的不可伸長(zhǎng)的輕繩一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m=0.01kg的不帶電小球A，拉起小球至繩水平后，無(wú)初速釋放．另一電荷量q=+0.1C、質(zhì)量與A相同的小球P，以速度v₀=3

3

m/s水平拋出，經(jīng)時(shí)間t=0.2s與小球A在D點(diǎn)迎面正碰并粘在一起成為小球C，碰后瞬間斷開(kāi)輕繩，同時(shí)對(duì)小球C施加一恒力，此后小球C與D點(diǎn)下方一足夠大的平板相遇．不計(jì)空氣阻力，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，取g=10m/s²．
（1）求碰撞前瞬間小球P的速度．
（2）若小球C經(jīng)過(guò)路程s=0.09m到達(dá)平板，此時(shí)速度恰好為0，求所加的恒力．
（3）若施加恒力后，保持平板垂直于紙面且與水平面的夾角不變，在D點(diǎn)下方面任意改變平板位置，小球C均能與平板正碰，求出所有滿足條件的恒力．

Answer 1

分析：（1）小球P在碰撞前做類平拋運(yùn)動(dòng)，可通過(guò)牛頓第二定律求得豎直方向的加速度，再根據(jù)時(shí)間就可以求得碰撞前小球豎直方向的速度，水平方向速度已知，根據(jù)矢量合成求出小球P碰撞瞬間的速度．
（2）小球P與A在D點(diǎn)正碰，小球P此時(shí)的速度與水平方向的夾角為θ，連接小球A的繩子與豎直方向的夾角也為θ，可以求得θ，對(duì)A球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求得A求的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒定理求得碰撞后的共同速度，小球C經(jīng)過(guò)路程s后到達(dá)夾板，此時(shí)速度變?yōu)?，表明小球C一定做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得出加速度，再根據(jù)牛頓第二定律就可以求出恒力；
（3）平板足夠大，且在D點(diǎn)下方任意改變平板位置，那則可以將平板放置到無(wú)限遠(yuǎn)，但根據(jù)題意也要發(fā)生正碰（垂直打在板上），則小球C必須勻速或勻加速運(yùn)動(dòng)．故恒力F′的方向是從豎直向上順時(shí)針轉(zhuǎn)至無(wú)限接近速度的方向的范圍內(nèi)，為了使小球C能做勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則在小球C運(yùn)動(dòng)的速度的垂直方向上合力為零，即可以求得恒力的范圍．

解答：解：（1）小球P在碰撞前做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向的加速度
a=

mg+qE

m

=

0.01×10+0.1×0.5

0.01

m/s2=15m/s2
小球P在碰撞瞬間豎直向下的速度為v_y=at=15×0.2m/s=3m/s
所以小球P碰撞瞬間的速度vP=

v 2 0 + v 2 y

=

(3 3 )2+32

m/s=6m/s
（2）小球P與A在D點(diǎn)正碰，小球P此時(shí)的速度與水平方向的夾角為θ，連接小球A的繩子與豎直方向的夾角也為θ．tanθ=

vy

v0

=

3

3 3

=

3

3

則θ=30°
對(duì)A球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得mglcosθ=

1

2

m

v

2 A

解得vA=

2glcosθ

=3m/s
P與A球迎面正碰并粘在一起成為小球C，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
    mv_P-mv_A=2mv_C
解得：v_C=1.5m/s
小球C經(jīng)過(guò)路程s后到達(dá)夾板，此時(shí)速度變?yōu)?，表明小球C一定做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度與受力示意圖如右圖所示．
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
a=

vC2

2s

=12.5m/s²
設(shè)恒力F與豎直方向的夾角為α，建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)牛頓第二定律得：
在x軸上（沿加速度方向）：Fcos（90°-α-θ）-（2mg+qE）sinθ=2ma
在y軸上：Fsin（90°-α-θ）-（2mg+qE）cosθ=0
由以上二式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：
F=

3

4

N，α=30°
（3）平板足夠大，且在D點(diǎn)下方任意改變平板位置，那則可以將平板放置到無(wú)限遠(yuǎn)，但根據(jù)題意也要發(fā)生正碰（垂直打在板上），則小球C必須勻速或勻加速運(yùn)動(dòng)．故恒力F′的方向是從豎直向上順時(shí)針轉(zhuǎn)至無(wú)限接近速度的方向的范圍內(nèi)，設(shè)恒力F′與豎直方向的夾角為β，則有
0°≤β＜120°
為了使小球C能做勻速直線運(yùn)動(dòng)或勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則在小球C運(yùn)動(dòng)的速度的垂直方向上合力為零，有F'cos（θ-β）=（2mg+qE）cosθ
解得F=

3

8cos(30°-β)

(其中0°≤β＜120°)．
答：（1）求碰撞前瞬間小球P的速度為；（2）所加的恒力為

3

4

N方向與豎直方向夾角為30°；（3）恒力滿足的條件為F=

3

8cos(30°-β)

(其中0°≤β＜120°)．

點(diǎn)評(píng)：該題涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，結(jié)合了平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律的應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)，難度比較大，對(duì)同學(xué)們的綜合能力要求比較高，屬于難題．