Question

14．如圖是阿毛同學(xué)的漫畫中出現(xiàn)的裝置，描述了一個“吃貨”用來做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺上以一定的初速經(jīng)兩個四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點P飛出進入炒鍋內(nèi)，利用來回運動使其均勻受熱．用質(zhì)量為m=10g的小滑塊代替栗子，借這套裝置來研究一些物理問題．設(shè)大小兩個四分之一圓弧半徑為2R和R，R=0.8m，小平臺和圓弧均光滑．將過鍋底的縱截面看作是兩個斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．斜面動摩擦因數(shù)均為0.25．兩斜面傾角均為θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小擋板，碰撞不損失機械能．滑塊的運動始終在包括鍋底最低點的豎直平面內(nèi)，重力加速度為g=10m/s²．
（1）若滑塊恰好能經(jīng)P點飛出，為了使滑塊恰好沿AB斜面進入鍋內(nèi)，應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點離地高為多少？
（2）接（1）問，求滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程．
（3）對滑塊不同初速度，求其通過最高點P和小圓弧最低點Q時受壓力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊恰好到達P點的速度，根據(jù)速度方向與斜面AB平行，結(jié)合平拋運動的規(guī)律，運用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出進入A點時滑塊的速度，對全過程運用動能定理，求出滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出P、Q的彈力，結(jié)合機械能守恒定律得出壓力差，結(jié)合最高點的最小速度求出壓力之差的最小值．

解答 解：（1）在P點，由牛頓第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$
可得 v_P=$\sqrt{2gR}$                            
到達A點時速度方向要沿著AB，在A點有 v_y=v_ptanθ=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2gR}$
所以AD離地高度為 h=3R-$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{39}{16}$R=1.95m      
（2）滑塊進入A點滑塊的速度為   v=$\frac{{v}_{P}}{cosθ}$=$\frac{5}{4}$$\sqrt{2gR}$                      
假設(shè)經(jīng)過一個來回能夠回到A點，設(shè)回來時動能為E_k，則
  E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-4μmgcosθ•8R＜0
所以滑塊不會滑到A而飛出．    
根據(jù)動能定理得：
  mg•2Rsinθ-μmgcosθ•s=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過得總路程 s=11.05m       
（3）設(shè)初速度、最高點速度分別為v₁、v₂．
由牛頓第二定律得：
在Q點  在Q點有：F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，解得 F₁=mg+m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
在P點，F(xiàn)₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{2R}$．解得 F₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{2R}$-mg
所以 F₁-F₂=2mg+$\frac{m（2{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）}{2R}$
由機械能守恒得
  $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²+mg•3R，
得v₁²-v₂²=6gR為定值．
代入v₂的最小值$\sqrt{2gR}$，得壓力差的最小值為9mg=0.9 N．
答：
（1）應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點離地高為1.95m．
（2）接（1）問，滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程是11.05m．
（3）對滑塊不同初速度，其通過最高點P和小圓弧最低點Q時受壓力之差的最小值是0.9N．

點評 解決本題的關(guān)鍵要把握每個過程和狀態(tài)遵循的物理規(guī)律，知道通過P點的臨界條件，再結(jié)合平拋運動、動能定理及機械能守恒、牛頓運動定律等基本規(guī)律解答．