Question

15．如圖所示，階梯的每個臺階的寬和高都是0.1m，一小球以v₀=2m/s的水平速度從頂部（第0臺階）拋出，小球能落到第8或9臺階上，若要使小球能落到第9臺階上，則初始水平速度為$2m/s＜v＜\frac{3}{2}\sqrt{2}m/s$（g取10m/s²）

Answer 1

分析 判斷小球落在哪一級臺階，可以先求出小球位移與水平方向夾角為45度時的時間，從而得出水平位移，判斷落在哪一臺階．要使小球落在第九級臺階，結(jié)合兩個臨界狀態(tài)，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出初速度．

解答 解：根據(jù)tan45°=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$得，t=$\frac{2{v}_{0}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$，
根據(jù)$n=\frac{{v}_{0}t}{x}=\frac{2×0.4}{0.1}=8$．可知小球落到第8級或第9級臺階．
若小球打在第8級臺階的邊緣上，則h₁=8×0.1m=0.8m
根據(jù)${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
此時的初速度${v}_{1}=\frac{x}{t}=\frac{0.1×8}{0.4}m/s=2m/s$，
若小球打在第9級臺階的邊緣上，則h₂=9×0.1=0.9m．
根據(jù)${h}_{2}=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.9}{10}}s=\frac{3\sqrt{2}}{10}s$，
此時的初速度${v}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{t}_{2}}=\frac{0.9}{\frac{3\sqrt{2}}{10}}m/s=\frac{3\sqrt{2}}{2}m/s$．
則初始速度的范圍為$2m/s＜v＜\frac{3\sqrt{2}}{2}m/s$．
故答案為：8（或9），$2m/s＜v＜\frac{3}{2}\sqrt{2}m/s$

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握臨界情況，結(jié)合平拋運動水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律進(jìn)行求解．