Question

5．圖為某娛樂活動中的挑戰(zhàn)項目裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D傳送帶足夠長，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率順時針轉動．挑戰(zhàn)者需要將質量為2.5kg的紙箱以一定的水平向右的初速v₀放在A端，到達B端后，紙箱速度大小不變地被傳到傾斜的CD部分，以紙箱最終在CD部分上升的距離大小定輸贏，距離大者獲勝．紙箱與AB傳送帶間的動摩擦因數為0.2，與CD間的摩擦因數為0.5．試求：
（1）傾斜部分CD靜止不轉時，若第一位挑戰(zhàn)者以3m/s的水平向右初速將紙箱放上A點，紙箱到達B點時的速度是多大？紙箱在CD傳送帶上上升的最大距離是多少？
（2）傾斜部分CD以1m/s的速率順時針轉動．若第二位挑戰(zhàn)者想勝過第一位，應最少以多大的水平初速將紙箱放上A點？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能為5m/s，則應判斷米袋到達B點時是否已達最大速度，若沒達到，則由位移與速度的關系可求得B點速度，若達到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得米袋的加速度，則由位移和速度的關系可求得上升的最大距離；
（2）米袋在CD上應做減速運動，若CD的速度較小，則米袋的先減速到速度等于CD的速度，然后減小到零，分段列出位移與速度關系可求得B點的速度；再對AB過程列方程可求得A點的速度．

解答 解：（1）紙箱在AB上加速時的加速度：
a₀=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.2×10=2m/s²
米袋的速度達到v₀=5m/s時，滑行的距離：
s₀=$\frac{25-9}{2×2}$=4m；因此紙箱在到達B點之前沒有達5m/s；
由v²-v₀²=2ax可得：
v=$\sqrt{21}$m/s；
設紙箱在CD上運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數據得：a=10 m/s²
所以能滑上的最大距離：
s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{21}{2×10}$=1.05m
（2）設CD部分運轉速度為v₁時米袋恰能到達D點（即米袋到達D點時速度恰好為零），則米袋速度減為v₁之前的加速度為：
a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至減為零前的加速度為：
a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由 $\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}$+$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=1.05m
解得：v₁=4m/s，即要超過第1個人，到達B點的速度應為4m/s；
則對AB過程可知：
v₁²-v_A²=2ax
解得：v_A=2m/s；
答：（1）到達B點的速度為$\sqrt{21}$m/s；CD上運動的位移為1.05m；
（2）要想超過前者，放在A點的速度應至少為2m/s．

點評 本題難點在于通過分析題意找出臨條界件，注意米袋在CD段所可能做的運動情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達D點時速度恰好為零；本題的難度較大．