Question

2．如圖所示，截面為半圓形的透明圓柱體其折射率為n，圓心為O點，半圓柱體的圓弧部分外表面涂上水銀層，可將光線在圓柱面的內(nèi)表面全部反射．現(xiàn)有一束細光線從直徑AB上的M點以入射角θ射入圓柱體的AB界面，經(jīng)球面反射后恰好在AB界面上的N點發(fā)生全反射，設(shè)MO長為l₁，ON長為l₂，求：$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$=？

Answer 1

分析 光線恰好在AB界面上的N點發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求得臨界角C的正弦值．光線在M點發(fā)生折射，由折射定律列式，結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：設(shè)從M點入射的光線的折射角為r，從N點全反射的光線的入射角為C，由折射定律：
從N點全反射的光線：$\frac{sin90°}{sinC}$=n
得：sinC=$\frac{1}{n}$
則有：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$ 
M點入射的光線，由折射定律有：$\frac{sinθ}{sinα}$=n
有：cosr=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$
設(shè)圓的半徑為R，在△NPO中由正玄定理
有：$\frac{R}{sin（90°-C）}$=$\frac{{l}_{2}}{sinα}$
同理在△MPO中：$\frac{R}{sin（90°-r）}$=$\frac{{l}_{1}}{sinα}$
所以$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}-si{n}^{2}θ}}$
答：$\frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}$為$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}-si{n}^{2}θ}}$．

點評 本題主要要掌握光的折射定律和全反射臨界角公式，能靈活運用幾何知識幫助解決幾何光學(xué)問題．