Question

5．如圖，勻強磁場的磁感應(yīng)強度方向垂直于紙面向里，寬度為l，上、下邊界與地面平行，下邊界與地面相距$\frac{7}{2}$l．將一個邊長為l，質(zhì)量為m，總電阻為R的正方形剛性導(dǎo)電線框ABCD置于勻強磁場區(qū)域上方，線框CD邊與磁場上邊界平行，從高于磁場上邊界h的位置靜止釋放，h的值能保證AB邊勻速通過磁場區(qū)域．從AB邊離開磁場到CD邊落在地面所用時間是AB邊界通過磁場時間的2倍（重力加速度為g），求：
（1）線框通過磁場過程中電流的方向；
（2）磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度的大�。�
（3）CD邊剛進入磁場時線框加速度與h的函數(shù)關(guān)系，分析h在不同情況下加速度的大小和方向，計算線框通過磁場區(qū)域產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)楞次定律判斷感應(yīng)電流的方向；
（2）AB邊勻速通過磁場區(qū)域，受重力和安培力，根據(jù)平衡條件、安培力公式、切割公式列式；從AB邊離開磁場到CD邊落在地面所用時間是AB邊界通過磁場時間的2倍，根據(jù)勻變速直線運動的位移時間關(guān)系列式；最后聯(lián)立求解即可；
（3）CD邊剛進入磁場時線框時受重力和安培力，根據(jù)切割公式求解感應(yīng)電動勢，根據(jù)歐姆定律求解感應(yīng)電流，根據(jù)安培力公式求解安培力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度表達式；根據(jù)能量守恒定律列式求解電熱．

解答 解：（1）根據(jù)楞次定律，線框中電流方向：cd邊在磁場中時為DCBAD，AB邊在磁場中為ABCDA；
（2）設(shè)線框AB邊在磁場中做勻速運動的速度大小為v₁，穿過磁場的時間為t，AB邊切割磁場產(chǎn)生的電動勢為E，線框中電流為I，則：
mg=IlB  ①
E=lv₁B  ②
I=$\frac{E}{R}$    ③
由①②③解得：B=$\frac{\sqrt{mgR{v}_{1}}}{l{v}_{1}}$  ④
l=v₁t   ⑤
依據(jù)題意和勻變速直線運動的規(guī)律，得：
$\frac{7}{2}l-l={v}_{1}（2t）+\frac{1}{2}g{（2t）}^{2}$  ⑥
由⑤⑥解得：${v}_{1}=2\sqrt{gl}$  ⑦
由④⑦解得：B=${（\frac{{{m^2}{R^2}g}}{{4{l^3}}}）^{\frac{1}{4}}}$  ⑧
（3）設(shè)線框CD邊剛進入磁場時，速度大小為v，加速度大小為a，線框產(chǎn)生的電動勢為E，電流為I，線框通過磁場區(qū)域產(chǎn)生的熱量為Q；
由動能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$，
解得：v=$\sqrt{2gh}$；
根據(jù)切割公式和歐姆定律，有：I=$\frac{lvB}{R}$  ⑨
由牛頓第二定律得：mg-IlB=ma  ⑩
由⑨⑩解得：a=（1-$\sqrt{\frac{h}{2l}}$）g；
當h=2l時，a=0
當h＞2l時，加速度大小為（$\sqrt{\frac{h}{2l}}$-1）g，方向豎直向上；
當h＜2l時，加速度大小為（1-$\sqrt{\frac{h}{2l}}$）g，方向豎直向下；
根據(jù)能量守恒定律，有：Q=mg（h+2l）-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$⑾
由⑦⑾解得：Q=mgh；
答：（1）線框通過磁場過程中，cd邊在磁場中時電流方向為DCBAD，AB邊在磁場中時電流方向為ABCDA；
（2）磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度的大小為${（\frac{{m}^{2}{R}^{2}g}{4{l}^{3}}）}^{\frac{1}{4}}$；
（3）線框通過磁場區(qū)域產(chǎn)生的熱量為mgh．

點評 本題關(guān)鍵是明確線框在穿過磁場區(qū)域過程中的功能關(guān)系，要結(jié)合切割公式、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律和功能關(guān)系列式分析，較難．