Question

12．探測火星一直是人類的夢想，若在未來某個時刻，人類乘飛船來到了火星，宇航員先乘飛船繞火星做圓周運動，測出飛船坐圓周運動時離火星表面的高度為H，環(huán)繞的周期為T及環(huán)繞的線速度為v，引力常量為G，由此可得出（　�。�

• A． 火星的半徑為$\frac{vT}{2π}$
• B． 火星表面的重力加速度為$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{（vT-2πH）}^2}}}$
• C． 火星的質量為$\frac{{T{v^2}}}{2πG}$
• D． 火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{{4{π^2}{v^2}T}}{{G{{（vT-πH）}^3}}}}$

Answer 1

分析 根據圓周運動公式求出火星半徑，根據萬有引力提供向心力求出火星的質量，根據重力和萬有引力相等得出火星表面的重力加速度．

解答 解：A、飛船在離火星表面的高度為H表面做勻速圓周運動，軌道半徑等于火星的半徑R加上H，根據：$v=\frac{2π（R+H）}{T}$，得$R+H=\frac{vT}{2π}$，故A錯誤；
B、C、根據萬有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$，得火星的質量為：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，
在火星的表面有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{{2πT{v^3}}}{{{{（vT-2πH）}^2}}}$．故B正確，C錯誤；
D、第一宇宙速度為：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2πT{v}^{3}}{{（vT-2πH）}^{2}}（\frac{vT}{2π}-H）}$=$\sqrt{\frac{T{v}^{3}}{vT-2πH}}$．故D錯誤；
故選：B

點評 本題考查了萬有引力定律在天體中的應用，關鍵是萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．