Question

7．如圖，沿水平方向放置一條平直光滑槽，它垂直穿過開有小孔的兩平行薄板，板相距3.5L．槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B，球A帶電量為+2q，球B帶電量為-3q，兩球由長為2L的輕桿相連，組成一帶電系統(tǒng)．最初A和B分別靜止于左板的兩側(cè)，離板的距離均為L．若視小球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，不計(jì)輕桿的質(zhì)量，在兩板間加上與槽平行向右的勻強(qiáng)電場E后（設(shè)槽和輕桿由特殊絕緣材料制成，不影響電場的分布），求：
（1）球B剛進(jìn)入電場時(shí)，帶電系統(tǒng)的速度大小；
（2）帶電系統(tǒng)從開始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零所需的時(shí)間及球A相對右板的位置．

Answer 1

分析 （1）A球受到向右的電場力作用，帶電系統(tǒng)向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，電場力做正功，由動(dòng)能定理求出球B剛進(jìn)入電場時(shí)，帶電系統(tǒng)的速度大小．
（2）假設(shè)帶電系統(tǒng)的速度為0時(shí)，假設(shè)A球仍在電場中，由動(dòng)能定理求出B球在電場中的位移為x，根據(jù)計(jì)算結(jié)果分析A、B的位置．若球A、B分別在右極板兩側(cè)時(shí)，由動(dòng)能定理求出A球達(dá)到右極板時(shí)的速度，再由動(dòng)能定理求解A出電場后帶電系統(tǒng)的速度為0時(shí)，A向右移動(dòng)的位移．

解答 解：（1）設(shè)球B剛進(jìn)入電場時(shí)，帶電系統(tǒng)的速度為v₁，由動(dòng)能定理有：
2qEL=$\frac{1}{2}$•2mv₁²，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）設(shè)球B從靜止到剛進(jìn)入電場的時(shí)間為t₁，則：
   t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$
帶電系統(tǒng)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)加速度為a₁，由牛頓第二定律：
   a₁=

2qE

2m

=

qE

m

∴t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
球B進(jìn)入電場后，帶電系統(tǒng)的加速度為a₂，由牛頓第二定律
a₂=$\frac{-3qE+2qE}{2m}$=$\frac{-qE}{2m}$
顯然，帶電系統(tǒng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)球A剛達(dá)到右極板時(shí)的速度為v₂，減速所需時(shí)間為t₂，則有：
v²₂-v²₁=2a₂×1.5L
t₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}$
求得：v₂=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，t₂=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
球A離開電場后，帶電系統(tǒng)繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₃，再由牛頓第二定律：
a₃=$\frac{-3qE}{2m}$
設(shè)球A從離開電場到靜止時(shí)所需時(shí)間為t₃，運(yùn)動(dòng)的位移為x，則有：
  t₃=$\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{3}}$
-v₂²=2a₃x
求得：t₃=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
由上可知，帶電系統(tǒng)從靜止到速度第一次為零所需的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{7}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
設(shè)帶電系統(tǒng)的速度為0時(shí)，假設(shè)A球仍在電場中，并設(shè)B球在電場中的位移為x，
由動(dòng)能定理有：
$\frac{1}{2}$•2mv₁²-qEx=0，
解得：x=2L＞1.5L，
所以帶電系統(tǒng)速度第一次為零時(shí)，球A、B應(yīng)分別在右極板兩側(cè)．設(shè)A球達(dá)到右極板時(shí)速度為v₂，
由動(dòng)能定理得：
2qE•2.5L-3qE•1.5L=$\frac{1}{2}$•2mv₂²，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，
接下來，只有B球受到電場力，設(shè)帶電系統(tǒng)的速度為0時(shí)，A球相對右極板的位移為x．
由動(dòng)能定理有：
3qEx=$\frac{1}{2}$•2mv₂²，
解得：x=$\frac{L}{6}$；
答：（1）球B剛進(jìn)入電場時(shí)，帶電系統(tǒng)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）帶電系統(tǒng)從開始運(yùn)動(dòng)到速度第一次為零時(shí)間$\frac{7}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，球A相對右板的位置距離為$\frac{L}{6}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要運(yùn)用動(dòng)能定理，通過計(jì)算分析兩球的運(yùn)動(dòng)過程，考查分析小球運(yùn)動(dòng)情況和把握解題規(guī)律的能力．