Question

16．利用萬有引力定律可以測量天體的質量．
（1）測地球的質量
英國物理學家卡文迪許，在實驗室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測量出了引力常量的數值，他把自己的實驗說成是“稱量地球的質量”．
已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉的影響，求地球的質量．
（2）測“雙星系統(tǒng)”的總質量
所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力的作用下，繞連線上某點O做勻速圓周運動的兩個星球A和B，如圖所示．已知A、B間距離為L，A、B繞O點運動的周期均為T，引力常量為G，求A、B的總質量．
（3）測月球的質量
若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成“雙星系統(tǒng)”．已知月球的公轉周期為T₁，月球、地球球心間的距離為L₁．你還可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的質量．

Answer 1

分析 （1）根據地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的質量M；
（2）雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離．代入公式即可解答；
（3）根據地（2）問的結論求出地球和月球的總質量，再減去（1）中求出的地球質量即為月球質量．

解答 解：（1）設地球的質量為M，地球表面某物體質量為m，忽略地球自轉的影響，則有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）設A的質量為M₁，A到O的距離為r₁，設B的質量為M₂，B到O的距離為r₂，
根據萬有引力提供向心力公式得：
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}={M}_{1}（\frac{2π}{T}）^{2}{r}_{1}$，
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}={M}_{2}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{r}_{2}$，
又因為L=r₁+r₂
解得：${M}_{1}+{M}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$
（3）設月球質量為M₃，由（2）可知，${M}_{3}+M=\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
由（1）可知，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
解得：${M}_{3}=\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}-\frac{g{R}^{2}}{G}$
答：（1）地球的質量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）A、B的總質量為$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的質量為$\frac{4{π}^{2}{{L}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}-\frac{g{R}^{2}}{G}$．

點評 本題要掌握兩個關系：星球表面的物體受到的重力等于萬有引力；環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運動所需要的向心力由萬有引力提供．這兩個關系可以解決天體運動的一切問題，雙星問題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當成軌道半徑．