Question

14．“神舟”六號飛船一飛沖天，一舉成功，再次把中國人“巡天遙看一天河”的陸地夢想變成“手可摘星辰，攬明月”的太空現(xiàn)實．“神舟”六號飛船點火發(fā)射時，飛船處于一個加速過程，在加速過程中宇航員處于超重狀態(tài)．人們把這種狀態(tài)下宇航員所受支持力F_N與在地表面時重力mg的比值K=$\frac{{F}_{N}}{mg}$稱為載荷值．
（1）假設宇航員在超重狀態(tài)下載荷值的最大值為K=7，飛船帶著宇航員豎直向上發(fā)射時的加速度a的最大值為多少？（已知地球表面的重力加速度g=10m/s²．）
（2）“神舟”六號飛船發(fā)射成功后，進入圓形軌道穩(wěn)定運行，運轉一圈的時間為T，地球的半徑為R，表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，試求這一圓形軌道距離地面的高度H．（用R、g、T、G表示）

Answer 1

分析 （1）運用牛頓第二定律對宇航員研究F-mg=ma，因為F=kmg，所以kmg-mg=ma，a越大，k越大，為了保護宇航員的安全，k最大只能取7，把7代入，即得a的最大值．
（2）飛船繞地球做圓周運動所需向心力由地球對飛船的萬有引力提供，由牛頓第二定律可以分析答題．

解答 解：（1）由牛頓第二定律可知：${F}_{N}^{\;}-mg=ma$，
由題意可知：$k=\frac{{F}_{N}^{\;}}{mg}$，整理得：mg（k-1）=ma，
將k=7代入解得：$a=60m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）設地球的質量為 M，飛船的質量為m，飛船距地面高為h，萬有引力充當向心力，由牛頓第二定律得：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}（R+h）$，
在地球表面附近，重力等于萬有引力，即：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，
解得：$h=\root{3}{\frac{g{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$；
答：（1）假設宇航員在超重狀態(tài)下載荷值的最大值為K=7，飛船帶著宇航員豎直向上發(fā)射時的加速度a的最大值為$60m/{s}_{\;}^{2}$
（2）“神舟”六號飛船發(fā)射成功后，進入圓形軌道穩(wěn)定運行，運轉一圈的時間為T，地球的半徑為R，表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，這一圓形軌道距離地面的高度H為$\root{3}{\frac{g{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$

點評 飛船繞地球最圓周運動，萬有引力提供向心力，應用萬有引力定律、牛頓第二定律即可正確解題