Question

3．如圖所示，水平虛線MN上方存在方向豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，下方有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．MN上有O、C兩點(diǎn)，AO⊥OC，AO=L，OC=d．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力），從A點(diǎn)以某速度水平向右射出；
（1）若粒子射出后，至經(jīng)過電場區(qū)域，直接到達(dá)C點(diǎn)，求粒子的初速度v₀；
（2）若粒子從A點(diǎn)以速度v水平射出后，經(jīng)電場從虛線上OC間某點(diǎn)進(jìn)入磁場中運(yùn)動(dòng)，經(jīng)磁場后再進(jìn)入電場，要使粒子經(jīng)過C點(diǎn)且到達(dá)C點(diǎn)的速度方向斜向上，求滿足條件的所有v值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向加速位移求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再根據(jù)粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)求出粒子的初速度；
（2）在圖上畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何運(yùn)動(dòng)具有周期性，求出每個(gè)周期粒子的運(yùn)動(dòng)距離，n個(gè)周期粒子運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求出速度v．

解答 解：（1）粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：d=v₀t，
$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
加速度為：a=$\frac{qE}{m}$，
解得${v}_{0}=d\sqrt{\frac{qE}{2mL}}$；
（2）設(shè)粒子從A點(diǎn)經(jīng)過電場從MN邊界上進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v′，與水平方向夾角為α，有：
Eq=ma，
$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
vt=d，
${v}^{′}=\sqrt{{v}^{2}+（at）^{2}}$，
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律得：
$q{v}^{′}B=\frac{m{{v}^{′}}^{2}}{R}$，R=$\frac{m{v}^{′}}{Bq}$，
粒子在電磁場中做周期性運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，每運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，粒子沿MN方向運(yùn)動(dòng)的距離為C₁C₂，
C₁C₂=vt-2Rsinα+vt，
OC=nC₁C₂+vt-2Rsinα，
sinα=$\frac{at}{{v}^{′}}$，
解得v=$\frac{1}{2n+1}$（$d\sqrt{\frac{Eq}{2mL}}+\frac{2（n+1）E}{B}$），（n=1，2，3，4…）
答：（1）若粒子射出后，至經(jīng)過電場區(qū)域，直接到達(dá)C點(diǎn)，求粒子的初速度v₀為$d\sqrt{\frac{qE}{2mL}}$；
（2）若粒子從A點(diǎn)以速度v水平射出后，經(jīng)電場從虛線上OC間某點(diǎn)進(jìn)入磁場中運(yùn)動(dòng)，經(jīng)磁場后再進(jìn)入電場，
要使粒子經(jīng)過C點(diǎn)且到達(dá)C點(diǎn)的速度方向斜向上，求滿足條件的所有v值為$\frac{1}{2n+1}$（$d\sqrt{\frac{Eq}{2mL}}+\frac{2（n+1）E}{B}$），（n=1，2，3，4…）．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，需要考生掌握平拋運(yùn)動(dòng)模型和粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡具有周期性，討論多種情況，難度較大．