Question

9．在一次宇宙探測(cè)過(guò)程中，宇航員到達(dá)某一星球上．在星球表面做如圖所示的實(shí)驗(yàn)：
將一質(zhì)量為m的小球拴接在長(zhǎng)為l的輕繩一端，繩的另一端結(jié)在有測(cè)力儀器的O點(diǎn)上，讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．測(cè)得小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，速度為v，繩的拉力為F．已知該星球的半徑為R，引力常量G，忽略星球的自轉(zhuǎn)．由該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及條件，求：
（1）該星球表面的重力加速度和該星球的質(zhì)量M．
（2）為拍攝星球的全貌，宇航員駕駛的飛船在離該星球表面高度為R的軌道繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則飛船的線速度多大？

Answer 1

分析 （1）小球在最低點(diǎn)受重力和拉力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解重力加速度；根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式求解星球的質(zhì)量；
（2）飛船做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力列式求解飛船的線速度．

解答 解：（1）小球在最低點(diǎn)受重力和拉力，合力提供向心力，故：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：
g=$\frac{F}{m}$-$\frac{{v}^{2}}{l}$
在星球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{l}）{R}^{2}}{G}$
（2）宇航員駕駛的飛船在離該星球表面高度為R的軌道繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力等于向心力，故：
G$\frac{Mm}{（R+R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+R}$
解得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}R（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{R}）}$
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{F}{m}$-$\frac{{v}^{2}}{l}$，該星球的質(zhì)量M為$\frac{（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{l}）{R}^{2}}{G}$．
（2）飛船的線速度為$\sqrt{\frac{1}{2}R（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{R}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是先根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解出星球表面的重力加速度，然后利用重力等于萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力的原理列式后聯(lián)立求解，不難．