Question

18．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑$\frac{3}{4}$圓弧軌道ABCD，其A點(diǎn)與圓心等高，D點(diǎn)為軌道最高點(diǎn)，AC為圓弧的一條水平直徑，AE為水平面．現(xiàn)使小球自A點(diǎn)正上方O點(diǎn)處由靜止釋放，小球從A點(diǎn)進(jìn)入圓軌道后能通過軌道最高點(diǎn)D．則（　�。�

• A． 小球通過D點(diǎn)時(shí)速度可能為零
• B． 小球通過D點(diǎn)后，一定會(huì)落到水平面AE上
• C． 小球通過D點(diǎn)后，可能會(huì)再次落回到圓軌道上
• D． O點(diǎn)距A點(diǎn)的高度至少應(yīng)為$\frac{5}{2}R$

Answer 1

分析 若小球恰能到達(dá)D點(diǎn)，知小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0，重力提供向心力，mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，求出D點(diǎn)的速度，小球離開D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，高度決定時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和D點(diǎn)的速度求出水平距離，然后比較此最小距離與R的大小，判斷落點(diǎn)．

解答 解：A、小球在最高點(diǎn)受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
其中N≥0
故v≥$\sqrt{gR}$，故A錯(cuò)誤；
B、C、如果小球恰能通過最高點(diǎn)D，知小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
小球離開D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式，有：
豎直分運(yùn)動(dòng)：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平分運(yùn)動(dòng)：s=vt
解得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
s=vt=$\sqrt{2}$R
落點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離為：S=$\sqrt{2}$R＞R．
所以小球一定會(huì)落到水平面AE上，故C錯(cuò)誤，B正確；
D、設(shè)初始位置高度為h，小球運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律，有：
mgh=mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由于v≥$\sqrt{gR}$
故得：h≥1.5R，故D錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確小球運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒；同時(shí)要明確最高點(diǎn)的最小速度對(duì)應(yīng)著重力提供向心力的臨界狀態(tài)．