Question

9．如圖所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一豎直的墻．重物質(zhì)量為木板質(zhì)量的2倍，重物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．使木板與重物以共同的速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻木板與墻發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短．設(shè)木板足夠長，重物始終在木板上．重力加速度為g．求：
（1）設(shè)木板質(zhì)量為m，木板與重物第一次與墻碰撞過程，系統(tǒng)動(dòng)量的變化量．
（2）假設(shè)木板第二次與墻碰撞前重物恰好滑到木板另一端，木板的長度至少應(yīng)是多長．
（3）木板從第一次與墻碰撞到第三次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動(dòng)量定理可以求出木板與重物第一次與墻碰撞過程，系統(tǒng)動(dòng)量的變化量．
（2）碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理可以求出移動(dòng)的距離．
（3）應(yīng)用動(dòng)量定理、動(dòng)能定理與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）木板第一次與墻碰撞后，木板的速度與碰撞前等大反向，而重物的速度尚未發(fā)生變化，則系統(tǒng)動(dòng)量的變化量等于木板動(dòng)量的變化量，取向右為正方向，則：
△P=-mv₀-mv₀=-2mv₀
即系統(tǒng)動(dòng)量的變化量大小為2mv₀，方向向左．
（2）木板第一次與墻碰撞后，重物與木板相互作用直到有共同速度，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
2mv₀-mv₀=（2m+m）v，
解得：$v=\frac{v_0}{3}$，
由功能關(guān)系得：$\frac{1}{2}$•3mv₀²-$\frac{1}{2}$•3mv²=2μmgx₂，
解得：x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
即木板的長度至少為$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
（3）木板第一次與墻碰撞后，向左勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，然后再反向向右勻加速直線運(yùn)動(dòng)直到與重物有共同速度，再往后是勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到第二次撞墻．
木板第一次與墻碰撞后，重物與木板相互作用，木板向左做減速運(yùn)動(dòng)，速度先減小到0，該過程中根據(jù)動(dòng)量定理，有：0-m（-v₀）=μ×2mgt₁…①
所以：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$…②
木板在第一個(gè)過程中，由動(dòng)能定理有：-μ×2mgx₁=$0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
所以：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$…④
木板向右加速到二者速度相等的過程中，設(shè)使用的時(shí)間為t₂，位移為x₂，則由動(dòng)量定理：
2μmgt₂=mv-0…⑤
所以：${t}_{2}=\frac{v}{2μg}=\frac{{v}_{0}}{6μg}$…⑥
由動(dòng)能定理有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=-μ2mg{x}_{2}$…⑦
所以：${x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{36μg}$…⑧
木板在勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：x₁-x₂=vt₃，
聯(lián)立得：${t}_{3}=\frac{{2v}_{0}}{3μg}$…⑨
木板第二次與墻碰撞后，仍然是先向左勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，然后再反向向右勻加速直線運(yùn)動(dòng)直到與重物有共同速度，再往后是勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到第二次撞墻．
由于第二次與墻碰撞后木板的速度為$v=\frac{v_0}{3}$，結(jié)合前面的公式①到⑨可知，木板在第二次與墻壁碰撞后到第三次與墻壁碰撞前的三段時(shí)間分別為：
${t}_{4}=\frac{v}{2μg}=\frac{v}{6μg}$，${t}_{5}=\frac{v}{6μg}=\frac{{v}_{0}}{18μg}$，${t}_{6}=\frac{2v}{3μg}=\frac{{2v}_{0}}{9μg}$
木板從第一次與墻碰撞到第三次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅+t₆
聯(lián)立得：t=$\frac{16{v}_{0}}{9μg}$．
答：（1）設(shè)木板質(zhì)量為m，木板與重物第一次與墻碰撞過程，系統(tǒng)動(dòng)量的變化量為2mv₀，方向向左．
（2）假設(shè)木板第二次與墻碰撞前重物恰好滑到木板另一端，木板的長度至少為$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
（3）木板從第一次與墻碰撞到第三次碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{16{v}_{0}}{9μg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律及動(dòng)量定理的應(yīng)用，要注意明確哪些過程動(dòng)量是守恒的，才能根據(jù)動(dòng)量守恒列式求解，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵．
另外在第三問的解答過程中，木板在第二次與墻壁碰撞后到第三次與墻壁碰撞前的三段時(shí)間的求解過程與木板在第一次與墻壁碰撞后到第二次與墻壁碰撞前的時(shí)間求出的方法、步驟與結(jié)論都是相似的，可以使用前面的結(jié)論．