Question

18．如圖所示，A、B是土星的兩衛(wèi)星，繞土星做圓周運(yùn)動，設(shè)兩衛(wèi)星的周期分別為T₁和T₂．兩衛(wèi)星的速率分別為v₁和v₂，兩衛(wèi)星的加速度分別為a₁和a₂，兩衛(wèi)星的角速度分別為ω₁和ω₂，下列關(guān)系正確的是（　　）

• A． T₁＞T₂
• B． v₁＞v₂
• C． a₁＜a₂
• D． ω₁＜ω₂

Answer 1

分析 土星的衛(wèi)星圍繞土星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，得到線速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a與軌道半徑的半徑的關(guān)系，再進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)土星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得線速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，向心加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
A、根據(jù)$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，知軌道半徑越小，周期越小，土星A的軌道半徑${r}_{1}^{\;}$小于土星B的軌道半徑${r}_{2}^{\;}$，故${T}_{1}^{\;}＜{T}_{2}^{\;}$，故A錯誤；
B、根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，知軌道半徑越小，線速度越大，土星A的軌道半徑${r}_{1}^{\;}$小于土星B的軌道半徑${r}_{2}^{\;}$，故${v}_{1}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}$，故B正確；
C、根據(jù)$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，知軌道半徑越小，向心加速度越大，土星A的軌道半徑${r}_{1}^{\;}$小于土星B的軌道半徑${r}_{2}^{\;}$，故${a}_{1}^{\;}＞{a}_{2}^{\;}$，故C錯誤；
D、根據(jù)$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，知軌道半徑越小，角速度越大，土星A的軌道半徑${r}_{1}^{\;}$小于土星B的軌道半徑${r}_{2}^{\;}$，故${ω}_{1}^{\;}＞{ω}_{2}^{\;}$，故D錯誤
故選：B

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是要掌握萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式