Question

9．一勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界是半徑為R的圓，AB為圓的直徑．在A點有一粒子源向圓平面內(nèi)（垂直于磁場）發(fā)射質(zhì)量m、電量-q的粒子，粒子重力不計．
（1）如圖甲所示，若粒子向圓平面內(nèi)的各個方向發(fā)射，速率均為v₁=$\frac{5qBR}{3m}$．求粒子在磁場中運動的最長時間．
（2）如圖乙所示，在過B點且垂直于AB方向放置一個很大的屏．若粒子僅沿AB連線方向持續(xù)發(fā)射，速率均為v₂=$\frac{2qBR}{m}$．與此同時，以過A點并垂直于紙面的直線為軸，將磁場順時針緩慢旋轉(zhuǎn)90°．隨著磁場轉(zhuǎn)動，粒子打到屏上的位置會發(fā)生變化．求粒子打到屏上的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運動，速度大小一定，故軌道半徑一定，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；當軌跡對應(yīng)的圓弧最長時，粒子的運動時間最長；
（2）當磁場在實線區(qū)域時，畫出運動軌跡，得到打在熒光屏上的位置，設(shè)為C點；當磁場在虛線區(qū)域時，粒子做勻速直線運動，直接打在B點；則BC間距即為粒子打到屏上的范圍．

解答 解：（1）粒子做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力，故：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{5}{3}R$
過直徑的弦對應(yīng)最長時間，如圖所示：
結(jié)合幾何關(guān)系，軌跡對應(yīng)圓心角為：α=2arcsin$\frac{R}{r}$=74°
故運動的最長時間為：t_max=$\frac{74°}{360°}T$=$\frac{74°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{37πm}{90qB}$
（2）粒子僅沿AB連線方向持續(xù)發(fā)射，速率均為v₂=$\frac{2qBR}{m}$，洛侖茲力提供向心力，故：
$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=2R$
畫出運動軌跡，如圖所示：
θ=arctan$\frac{R}{{r}_{2}}=\frac{1}{2}$=26.6°
故α=2θ=53°
BC=Rtanα=$\frac{4}{3}R$
答：（1）粒子在磁場中運動的最長時間為$\frac{37πm}{90qB}$；
（2）粒子打到屏上的范圍為B點下方$\frac{4}{3}R$的區(qū)域．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子做圓周運動的向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系列式分析，不難．