Question

18．如圖所示，兩根相同的平行金屬直軌道豎直放置，上端用導(dǎo)線(xiàn)相連，下端固定在水平絕緣底座上．底座中央固定一根彈簧，金屬直桿ab通過(guò)金屬滑環(huán)套在軌道上．在MNPQ之間分布著垂直軌道面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨位置的變化規(guī)律為B=B₀$\sqrt{1+ky}$（B₀和k為定值，y為磁場(chǎng)中任一位置到PQ的距離）．現(xiàn)用力壓桿ab使彈簧處于壓縮狀態(tài)，撤力后桿被彈起，脫離彈簧進(jìn)入磁場(chǎng)，穿過(guò)PQ后繼續(xù)上升，然后再返回磁場(chǎng)，并能從邊界MN穿出，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)．已知桿ab與軌道間的摩擦力恒等于桿重力的$\frac{5}{13}$倍；桿向上運(yùn)動(dòng)，剛好穿過(guò)PQ時(shí)的速度是剛穿過(guò)MN時(shí)速度的一半，桿從PQ上升的最大高度（未超過(guò)上端導(dǎo)線(xiàn)）是磁場(chǎng)高度的n倍；桿向下運(yùn)動(dòng)，一進(jìn)入磁場(chǎng)立即做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．僅考慮軌道電阻且其單位長(zhǎng)度的阻值是恒定的，B₀、k及重力加速度g均為已知量．求：
（1）桿向上穿過(guò)PQ時(shí)的速度v₁與返回PQ時(shí)的速度v₂之比；
（2）桿向上運(yùn)動(dòng)剛進(jìn)入MN時(shí)的加速度大�。�
（3）桿上、下兩次穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的電熱Q₁：Q₂；
（4）磁場(chǎng)上邊界PQ到水平導(dǎo)線(xiàn)的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)桿ab穿出PQ后上升和下降過(guò)程，分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得v₁與v₂之比；
（2）對(duì)于向上運(yùn)動(dòng)剛進(jìn)入MN時(shí)，由牛頓第二定律列出加速度表達(dá)式．桿向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，列出平衡條件，根據(jù)題目中速度關(guān)系，得到安培力的關(guān)系，聯(lián)立可求得加速度．
（3）對(duì)于ab上升和下落的過(guò)程，分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，可求得克服安培力做功之比，即可得到產(chǎn)生的電熱之比Q₁：Q₂．
（4）桿ab向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)為勻速，安培力應(yīng)為定值，由安培力公式F=BIL，結(jié)合B=B₀$\sqrt{1+ky}$求解．

解答 解：（1）設(shè)桿ab上升的最高點(diǎn)距PQ的距離為h，由動(dòng)能定理有：
上升階段：-（mg+F_f）h=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
下降階段：（mg-F_f）h=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…②
解得：v₁：v₂=3：2
（2）設(shè)軌道寬度為L(zhǎng)，MN處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MN以上的軌道總電阻為R．
桿ab剛從邊界MN進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度設(shè)為v₀，由牛頓第二定律有：
  mg+F_f+BIL=ma…③
其中I=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$ ④
桿向下運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，桿ab到達(dá)邊界MN時(shí)，速度為v₂．
由平衡條件有：mg=F_f+BI′L…⑤
其中I′=$\frac{BL{v}_{2}}{R}$ ⑥
由題意 v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$，v₂=$\frac{2}{3}{v}_{1}$=$\frac{{v}_{0}}{3}$ ⑦
聯(lián)立解得：a=$\frac{42}{13}$g
（3）若桿ab上升的最高點(diǎn)距PQ的距離為h，則磁場(chǎng)高度為 $\frac{h}{n}$，由動(dòng)能定理得：
-（mg+F_f）（h+$\frac{h}{n}$）-W₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑧
同理，在返回階段：（mg-F_f）（h+$\frac{h}{n}$）-W₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0…⑨
聯(lián)立①②⑧⑨解得：$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$=$\frac{9（3n-1）}{4}$
（4）設(shè)PQ到水平導(dǎo)線(xiàn)的距離為H，桿ab向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)為勻速，則安培力應(yīng)為定值．
  F_安=BIL=B$\frac{BL{v}_{2}}{R}$L=$\frac{{B}_{0}^{2}（1+ky）{L}^{2}{v}_{2}}{2（H+y）r}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}_{2}（1+ky）}{2Hr（1+\frac{1}{H}y）}$…⑩
可見(jiàn)，要使F_安為定值，則 k=$\frac{1}{H}$，H=$\frac{1}{k}$
答：（1）桿向上穿過(guò)PQ時(shí)的速度v₁與返回PQ時(shí)的速度v₂之比為3：2；
（2）桿向上運(yùn)動(dòng)剛進(jìn)入MN時(shí)的加速度大小是$\frac{42}{13}$g；
（3）桿上、下兩次穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的電熱Q₁：Q₂是9（3n-1）：4
（4）磁場(chǎng)上邊界PQ到水平導(dǎo)線(xiàn)的距離是$\frac{1}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的過(guò)程比較復(fù)雜，是力學(xué)與電磁感應(yīng)的綜合，運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，要注意明確所研究的物理過(guò)程，關(guān)鍵是得到安培力表達(dá)式，根據(jù)安培力是定值，由數(shù)學(xué)方法分析H．