Question

7．如圖所示，真空有一個(gè)半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，與坐標(biāo)原點(diǎn)相切，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2×10^-3 T，方向垂直于紙面向外，在x=r處的右側(cè)有一個(gè)方向豎直向上的寬度為L(zhǎng)₁=0.5m的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域（電場(chǎng)區(qū)域的左右界如圖中虛線所示），電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.5×10³ N/C．在x=2m處有一垂直x方向的足夠長(zhǎng)的熒光屏，從O點(diǎn)處向不同方向發(fā)射出速率相同的荷質(zhì)比=1.0×10⁹ C/kg帶正電的粒子，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi)，一個(gè)速度大小為v₀=1.0×10⁶m/s，方向沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，恰能從磁場(chǎng)與電場(chǎng)的相切處進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)重力及阻力的作用．求：
（1）該磁場(chǎng)的半徑和該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）該粒子最后打到熒光屏上，該發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)．
（3）求熒光屏上出現(xiàn)發(fā)光點(diǎn)的范圍．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力求得帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由于粒子是從O點(diǎn)出發(fā)，從磁場(chǎng)與電場(chǎng)的相切處進(jìn)入電場(chǎng)的，從而由幾何關(guān)系求出磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，由帶電粒子的軌跡從而求得時(shí)間為$\frac{1}{4}T$．
（2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直向上方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而求出豎直位移，從而求出打在屏上的坐標(biāo)．
（3）由于帶電粒子粒子以不同方向相同速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的，且在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場(chǎng)半徑相同，所以粒子從圓形磁場(chǎng)區(qū)域離開(kāi)時(shí)方向均沿水平方向進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由（2）的結(jié)論就能求出發(fā)光點(diǎn)的范圍．

解答 解：（1）由題意可知：粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：R=$\frac{mv}{Bq}$=0.5m
又有粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：
T=$\frac{2πm}{Bq}$
又，t₁=$\frac{1}{4}T$
得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=7.85×10^-7s             
（2）粒子在磁場(chǎng)中從切點(diǎn)垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中的加速度大小為：
a=$\frac{Eq}{m}$=1.5×10³×1.0×10⁹m/s²=1.5×10¹²m/s²
粒子穿出電場(chǎng)時(shí)，沿y軸方向的分速度為：
v_y=at₂=a×$\frac{{L}_{1}}{v}$=1.5×10¹²×$\frac{0.5}{1.0×1{0}^{6}}m/s$=0.75×10⁶m/s
如圖所示，有：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{0.75×1{0}^{6}}{1.0×1{0}^{6}}$=0.75
粒子在磁場(chǎng)中側(cè)移：y₁=r=0.5m   
在電場(chǎng)中側(cè)移為：y₂=$\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×1.5×10¹²×$（\frac{0.5}{1.0×1{0}^{6}}）^{2}m$=0.1875m
飛出電場(chǎng)后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：y₃=L₂tanα=（2-0.5-0.5）×0.75m=0.75 m     
故有：y=y₁+y₂+y₃=0.5m+0.1875m+0.75m=1.4375 m    
則該發(fā)光點(diǎn)的坐標(biāo)：（2，1.4375）
（3）r=R，所有的帶電粒子都平行于x軸射出磁場(chǎng)，有：
y_P=y_A+r=1.9375 m    
y_F=y_A-r=0.9375 m     
故，P（2，1.9375），F(xiàn)（2，0.9375）之間都有發(fā)光點(diǎn)．
答：（1）（1）磁場(chǎng)的半徑為0.5m，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7.85×10^-7s．
（2）該粒子最后打到熒光屏上，該發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（2，1.4375）．
（3）熒光屏上出現(xiàn)發(fā)光點(diǎn)的范圍是P（2，1.9375），F(xiàn)（2，0.9375）兩點(diǎn)之間．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意的是帶電粒子從O點(diǎn)以相同大小但方向不同的速度進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，而恰好有一粒子從O點(diǎn)沿y軸正方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域后從磁場(chǎng)和電場(chǎng)區(qū)域相切處進(jìn)入電場(chǎng)，所以由此可知圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑就是該粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力從而求出了半徑．