Question

5．如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E．第Ⅰ和第Ⅳ象限內(nèi)有一個半徑為R的圓，其圓心坐標(biāo)為（R，0），圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶正電的粒子（重力不計）以速度v₀從第Ⅱ象限的P點(diǎn)平行于x軸進(jìn)入電場后，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場，速度方向與x軸成60°角，最后從Q點(diǎn)平行于y軸射出磁場．P點(diǎn)所在處的橫坐標(biāo)x=-2R．求：
（1）帶電粒子的比荷；
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（3）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場到從Q點(diǎn)射出磁場的總時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)類平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解即可；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，先結(jié)合幾何關(guān)系畫出運(yùn)動的軌跡，求解出軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）在電場中是類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分位移公式列式求解時間；在磁場中是勻速圓周運(yùn)動，用弧長除以速度即可得到時間．

解答 解：（1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式，有：
tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{a{t}_{1}}{{v}_{0}}$
根據(jù)牛頓第二定律，有：
a=$\frac{qE}{m}$
水平分運(yùn)動：
x=2R=v₀t
聯(lián)立解得：
${v}_{y}={v}_{0}tan60°=\sqrt{3}{v}_{0}$
$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{2ER}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示：

由幾何關(guān)系，圖中軌跡圓與磁場圓的兩個交點(diǎn)、軌跡圓圓心O₂、磁場圓圓心O₁構(gòu)成四邊形，
由于∠O₁OO₂=30°，故?O₁OO₂P是菱形；
故r=R；
根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中：v=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀；
聯(lián)立解得：
B=$\frac{4\sqrt{3}E}{3{v}_{0}}$
（3）在電場中是類似平拋運(yùn)動，有：
t=$\frac{x}{{v}_{0}}=\frac{2R}{{v}_{0}}$
在磁場中是勻速圓周運(yùn)動，時間：
t′=$\frac{\frac{5}{6}πr}{v}=\frac{\frac{5}{6}πr}{2{v}_{0}}=\frac{5πR}{12{v}_{0}}$；
故總時間為：
t_總=t+t′=$\frac{2R}{{v}_{0}}$+$\frac{5πR}{12{v}_{0}}$
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{2ER}$；
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{4\sqrt{3}E}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場到從Q點(diǎn)射出磁場的總時間為$\frac{2R}{{v}_{0}}$+$\frac{5πR}{12{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動規(guī)律，分類似平拋運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動過程進(jìn)行分析，由幾何關(guān)系得到軌跡圓的軌道半徑是突破口．