Question

20．有一水平放置的圓盤(pán)，上面放有一勁度系數(shù)為k=40N/m的彈簧，如圖所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端掛一質(zhì)量為m=1kg的物體A，物體與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，開(kāi)始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.5m，求：
（1）盤(pán)的轉(zhuǎn)速n₀多大時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)？（結(jié)果用π表示）
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到2n₀時(shí)（在彈性限度內(nèi)），彈簧的伸長(zhǎng)量是多少？

Answer 1

分析 （1）物體A隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，若圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時(shí)，由彈力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和胡克定律求解彈簧的伸長(zhǎng)量△x．

解答 解：若圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較小，則靜摩擦力提供向心力，當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與靜摩擦力的合力提供向心力．
（1）當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速為n₀時(shí)，A即將開(kāi)始滑動(dòng)，此時(shí)它所受的最大靜摩擦力提供向心力，則有：
$μmg=mL{{ω}_{0}}^{2}$，
又因?yàn)椋害?SUB>0=2πn₀，
解得${n}_{0}=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{μg}{L}}$=$\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{2}{0.5}}=\frac{1}{π}rad/s$．
當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速達(dá)到2n₀時(shí)，物體受到的最大靜摩擦力已不足以提供向心力，需要彈簧的彈力來(lái)補(bǔ)充，
即：$μmg+k△x=mr{{ω}_{1}}^{2}$，
而：ω₁=2π×2n₀，
r=L+△x
解得：△x=$\frac{3μmgL}{kL-4μmg}$=$\frac{3×0.2×10×0.5}{40×0.5-4×0.2×10}=0.25m$．
答：（1）盤(pán)的轉(zhuǎn)速n₀為$\frac{1}{π}$rad/s時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)；
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到2n₀時(shí)（在彈性限度內(nèi)），彈簧的伸長(zhǎng)量是0.25m．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)物體相對(duì)于接觸物體剛要滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況．