Question

5．如圖所示，在光滑的圓錐體頂端用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球．圓錐體固定在水平面上不動(dòng)，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=30°．現(xiàn)使小球以一定的角速度繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)小球角速度ω₁=$\sqrt{\frac{2g}{3l}}$時(shí)，求細(xì)線對(duì)小球的拉力；
（2）當(dāng)小球角速度ω₂=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$時(shí)，求細(xì)線對(duì)小球的拉力．

Answer 1

分析 （1）物體剛要離開錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．
（2）當(dāng)速度大于臨界速度時(shí)，小球離開圓錐面，由重力和繩的拉力的合力提供向心力，再由牛頓第二定律求解．

解答 解：臨界條件為圓錐體對(duì)小球的支持力 F_N=0…①
由牛頓第二定律可列出方程：mgtan30°=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{Lsin30°}$…②
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$…③
（1）因v₁=$Lsin30°•{ω}_{1}=\sqrt{\frac{gL}{6}}$＜v₀，F(xiàn)_N≠0，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有：
T₁sinθ-N₁cosθ=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{Lsinθ}$…④
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0…⑤
解得：T₁=$\frac{（1+3\sqrt{3}）mg}{6}$，
（2）因v₂=Lsinθ•ω₂=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$＞v₀，物體離開斜面，對(duì)小球受力分析如圖所示，設(shè)繩與豎直方向的夾角為α．
由牛頓第二定律得：T₂sinα=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{Lsinα}$…⑦
T₂cosα-mg=0…⑧
解得：T₂=2mg．
答：（1）細(xì)線的拉力為$\frac{（1+3\sqrt{3}）mg}{6}$；
（2）細(xì)線的拉力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，正確分析受力，確定向心力的來(lái)源，并能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．