Question

4．如圖所示，AB為傾角θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑、CB部分粗糙，．BP為圓心角等于143°、半徑R=1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點，P、O兩點在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點，另一自由端在斜面上C點處，有質(zhì)量m=2kg的小物塊（視為質(zhì)點）在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點后（不栓接）由靜止釋放，物塊以v_C=12m/s的速度經(jīng)過C點，物塊第一次經(jīng)過B點后恰能到達P點；其中物塊與CB部分的滑動摩擦因數(shù)μ=0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）若x_CD=1m，試求物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功；
（2）B、C兩點間的距離x_BC；
（3）若在P處安裝一個豎直彈性擋板，物塊與擋板碰撞時間極短且無機械能損失，物塊與彈簧相互作用不損失機械能，通過計算判斷物塊在第一次與擋板碰撞后的運動過程中是否會脫離軌道？物塊第一次與擋板碰撞后到第二次上滑到最高點的過程中摩擦生熱為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從C點運動到B點過程中，根據(jù)動能定理列式，可以求出彈簧對物塊所做的功．
（2）物塊恰能到達P點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出物塊通過P點的速度．從C點到P點過程，利用動能定理求B、C兩點間的距離x_BC．
（3）根據(jù)動能定理判斷物體能否返回時回到與O點等高的位置，若不能回到等高的位置，則小球?qū)⒉粫�脫離軌道．根據(jù)能量守恒定律求摩擦生熱．

解答 解：（1）設(shè)彈簧對物塊所做的功為W，物塊從D點運動到C點的過程中；
由動能定理得：W-mgsin37°•x_CD=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：W=156J
（2）物塊恰能到達P點，物塊在P點有：mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$     
從C點到P點過程，由動能定理有：
-mgsin37°•x_BC-μmgcos37°•x_BC-mgR（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$         
解得 x_BC=$\frac{49}{8}$m=6.125m                
（3）由于斜面有摩擦作用，物塊與擋板碰后一定不能返回P點，若物塊到達與O點等高的位置Q點時速度不為0，則物塊會脫離軌道．設(shè)物塊第一次從圓弧軌道返回并與彈簧相互作用后，回到與O點等高的位置Q點的速度為v_Q；
由動能定理得  mgR-2μmgcos37°•x_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得 ${v}_{Q}^{2}$=-19＜0                                         
所以物塊返回后不能到達Q點，故物塊在以后的運動過程中不會脫離軌道．
設(shè)物塊與擋板碰撞后第二次上滑到最高點距C點的距離為x，由動能定理得：
  mg[R（1+cos37°）+（x_BC-x）sin37°]-μmgcos37°•（x_BC+x）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得  x=$\frac{95}{16}$J=5.9375m＜x_BC                                         
在這一過程中，摩擦生熱 Q=μmgcos37°•（x_BC+x）=$\frac{193}{4}$J=48.25J
答：
（1）若x_CD=1m，試求物塊從D點運動到C點的過程中，彈簧對物塊所做的功是156J；
（2）B、C兩點間的距離x_BC是6.125m；     
（3）物塊在以后的運動過程中不會脫離軌道，摩擦生熱為48.25J．

點評 本題綜合考查了動能定理、機械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清物體的運動情況，選擇合適的規(guī)律進行求解．要知道摩擦生熱與總路程有關(guān)．