Question

18．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形軌道在B點光滑連接．一個質量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下向右加速，脫離彈簧后進入豎直面內的半圓形軌道，在它經(jīng)過B點進入導軌的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能到達最高點C．已知半圓形軌道的半徑為R，重力加速度為g，空氣阻力不計，試求：
（1）彈簧被壓縮至A點時具有的彈性勢能；
（2）物體從B點運動至C點的過程中產(chǎn)生的內能．

Answer 1

分析 （1）研究物體經(jīng)過B點的狀態(tài)，根據(jù)牛頓運動定律求出物體經(jīng)過B點的速度，得到物體的動能，物體從A點至B點的過程中機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能等于物體經(jīng)過B點的動能；
（2）物體恰好到達C點時，由重力充當向心力，由牛頓第二定律求出C點的速度，物體從B到C的過程，運用動能定理求解克服阻力做的功．

解答 解：（1）設彈簧的彈性勢能為E_p，物體經(jīng)過B點時的速度為v_B，軌道對物體的支持力為N，物體對軌道的壓力為N′由題意知有：N′=8mg           
在B點，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$                  
由牛頓第三定律得：N=N′
由機械能守恒得：E_p=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：E_p=3.5mgR      
（2）設物體從B點運動至C點的過程中物體克服阻力做功為W_f，在C點速度為v_C．
物體恰到達C點，重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                                   
由動能定理得：-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：W_f=mgR   
故產(chǎn)生的內能 Q=W_f=mgR   
答：
（1）彈簧被壓縮至A點時具有的彈性勢能是3.5mgR；
（2）物體從B點運動至C點的過程中產(chǎn)生的內能是mgR．

點評 本題的解題關鍵是分析圓周運動向心力的來源，根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點的速度，再結合動能定理研究．