Question

18．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形軌道在B點(diǎn)光滑連接．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下向右加速，脫離彈簧后進(jìn)入豎直面內(nèi)的半圓形軌道，在它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬間對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C．已知半圓形軌道的半徑為R，重力加速度為g，空氣阻力不計(jì)，試求：
（1）彈簧被壓縮至A點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢(shì)能；
（2）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）研究物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度，得到物體的動(dòng)能，物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢(shì)能等于物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的動(dòng)能；
（2）物體恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，物體從B到C的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解克服阻力做的功．

解答 解：（1）設(shè)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p，物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，軌道對(duì)物體的支持力為N，物體對(duì)軌道的壓力為N′由題意知有：N′=8mg           
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$                  
由牛頓第三定律得：N=N′
由機(jī)械能守恒得：E_p=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：E_p=3.5mgR      
（2）設(shè)物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中物體克服阻力做功為W_f，在C點(diǎn)速度為v_C．
物體恰到達(dá)C點(diǎn)，重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                                   
由動(dòng)能定理得：-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
解得：W_f=mgR   
故產(chǎn)生的內(nèi)能 Q=W_f=mgR   
答：
（1）彈簧被壓縮至A點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢(shì)能是3.5mgR；
（2）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能是mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是分析圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的速度，再結(jié)合動(dòng)能定理研究．