Question

8．“玉兔號(hào)”登月車在月球表面接觸的第一步實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人“奔月”的偉大夢(mèng)想，若機(jī)器人“玉兔號(hào)”在月球表面做了豎直上拋實(shí)驗(yàn)，測(cè)得物體以初速v₀拋出后，上升的最大高度為h，已知月球半徑為R，求：
（1）月球表面重力加速度．
（2）周期為T的繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，離月球表面的高度H．

Answer 1

分析 （1）物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式可以求出重力加速度．
（2）衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，物體上升的高度：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
月球表面的重力加速度：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$；
（2）衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+H），
月球表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：H=$\frac{1}{2}$$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}^{2}}{h{π}^{2}}}$-R；
答：（1）月球表面重力加速度為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$．
（2）周期為T的繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，離月球表面的高度H為：$\frac{1}{2}$$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}^{2}}{h{π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的高度與初速度可以求出重力加速度；衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出H，解題時(shí)注意“黃金代換”的應(yīng)用．