Question

4．鑒于社會(huì)上有些司機(jī)在駕車經(jīng)過減速帶時(shí)不減速而經(jīng)常導(dǎo)致一些事故的產(chǎn)生，有一汽車廠家提出如下解決方案，其基本設(shè)想簡(jiǎn)化如下：如圖（俯視圖），在汽車底部固定一個(gè)長(zhǎng)度L₁、寬度L₂的單匝矩形純電阻金屬線圈，線圈的總電阻為R，車和線圈的總質(zhì)量為m，假設(shè)汽車運(yùn)動(dòng)過程中所受阻力恒為f．在減速區(qū)域設(shè)置磁場(chǎng)如圖，若開始時(shí)，汽車以初速度v₀沖進(jìn)緩沖區(qū)域的左側(cè)，緩沖區(qū)域?qū)挒閐（d＞L₁）．緩沖區(qū)域內(nèi)有方向垂直線圈平面向上、大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)控制汽車牽引力的功率，讓汽車以大小為a的恒定加速度減速駛?cè)刖彌_區(qū)域，線圈全部進(jìn)入緩沖區(qū)域后，立即開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直至完全離開緩沖區(qū)域，整個(gè)過程中，牽引力的總功為W．
（1）求線圈沖出磁場(chǎng)過程中，通過線圈橫截面的電量；
（2）寫出線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，牽引力的功率隨時(shí)間變化的關(guān)系式；
（3）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合歐姆定律以及電流定義式即可求出電量q；
（2）物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律以及瞬時(shí)功率表達(dá)式，聯(lián)立即可；
（3）運(yùn)用能量的觀點(diǎn)分析，焦耳定律求解勻速穿出磁場(chǎng)的電熱，再運(yùn)用能量守恒定律，進(jìn)入磁場(chǎng)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，以及出磁場(chǎng)的勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，聯(lián)立即可求出線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）線框沖出磁場(chǎng)過程中，通過線框橫截面的電量：q=$\overline{I}$△t ①
根據(jù)歐姆定律得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$ ②
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline{E}=\\;n\frac{△Φ}{△t}$$\frac{△Φ}{△t}$ ③
聯(lián)立①②③式得：q=$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$
（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)，牽引力的功率：P=Fv ④
勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：v=v₀-at ⑤
牛頓第二定律得：F-f-F_安=ma ⑥
安培力公式：F_安=BIL₂ ⑦
歐姆定律：I=$\frac{E}{R}$ ⑧
切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=BL₂v ⑨
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得：P=$\frac{{{B}^{2}{L}_{2}^{2}（{v}_{0}-at）}^{2}}{R}$+（f+ma）（v₀-at）
（3）設(shè)線框勻速穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₁、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁、感應(yīng)電流為I₁
線框運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，根據(jù)能量關(guān)系有：W=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+f（d+L₁）+Q_總 ⑩
線框出磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的熱量：Q_出=${I}_{1}^{2}$Rt⑪
歐姆定律：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$⑫
出磁場(chǎng)時(shí)切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E₁=BL₂v₁⑬
出磁場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)：L₁=v₁t⑭
進(jìn)入磁場(chǎng)過程中：${v}_{0}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2aL₁ ⑮
能量守恒：Q_總=Q_進(jìn)+Q_出 ⑯
聯(lián)立⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式得：Q_進(jìn)=W+maL₁-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}}{R}\sqrt{2a{L}_{1}{-v}_{0}^{2}}$
答：（1）線圈沖出磁場(chǎng)過程中，通過線圈橫截面的電量為$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$；
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，牽引力的功率隨時(shí)間變化的關(guān)系式為P=$\frac{{{B}^{2}{L}_{2}^{2}（{v}_{0}-at）}^{2}}{R}$+（f+ma）（v₀-at）；
（3）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱為W+maL₁-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}}{R}\sqrt{2a{L}_{1}{-v}_{0}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)過程中的力與運(yùn)動(dòng)以及能量轉(zhuǎn)化的綜合運(yùn)用，用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式選取相應(yīng)的規(guī)律解決問題，其中第（3）問的能量關(guān)系也可以用動(dòng)能定理去表示．