Question

11．有一水平傳送帶AB長(zhǎng)L=8m，距離水平地面h=$\frac{9}{20}$m，地面上C點(diǎn)在傳送帶右端點(diǎn)B的正下方．一小物塊以水平初速度v₀=2m/s自A點(diǎn)滑上傳送帶，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，傳送帶以恒定速率v 順時(shí)針運(yùn)行．（g取10m/s²） 
（ 1 ）若傳送帶運(yùn)行速率v=3m/s，求小物塊落地時(shí)速度大小和方向；
（ 2 ）若傳送帶運(yùn)行速率v=1m/s，求小物塊從滑上傳送帶到落地所用時(shí)間；
（ 3 ）當(dāng)傳送帶運(yùn)行速率v滿足什么要求時(shí)，小物塊落地點(diǎn)D到C的距離最遠(yuǎn)？并求出這個(gè)最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)加速度求得勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，進(jìn)而得到在B點(diǎn)的速度，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解落地時(shí)的速度；
（2）根據(jù)加速度求得勻減速運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間，進(jìn)而求得在AB上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后將三部分運(yùn)動(dòng)時(shí)間累加即可；
（3）根據(jù)距離最遠(yuǎn)時(shí)物塊在AB上做勻加速運(yùn)動(dòng)求得末速度，進(jìn)而求得傳送帶速度范圍，然后根據(jù)在B處的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移．

解答 解：物塊在傳送帶上受到的滑動(dòng)摩擦力f=μmg，故由相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，物塊的加速度a=μg=2m/s²；
（1）物塊速度從v₀到v的位移為：$s=\frac{{v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{5}{4}m＜L$
故物塊先做勻加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)，從B水平拋出的速度為：v=3m/s；
那么物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)水平分速度為：v_x=v=3m/s
豎直分速度為：${v}_{y}=\sqrt{2gh}=3m/s$
所以，由速度的合成規(guī)律可知：小物塊落地時(shí)速度大小為$3\sqrt{2}m/s$，方向與水平方向的夾角為45°；
（2）物塊從v₀到v的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-v}{a}=0.5s$
運(yùn)動(dòng)位移為：$s′=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}}{2a}=\frac{3}{4}m$
那么，物塊在剩下路程運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{L-s′}{v}=7.25s$；
物塊從B拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.3s$
所以，小物塊從滑上傳送帶到落地所用時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=8.05s；
（3）小物塊落地點(diǎn)D到C的距離最遠(yuǎn)，那么由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，物塊在B的速度最大，故物塊從A到B做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，所以，在B點(diǎn)的速度為：
${v}_{Bmax}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2aL}=6m/s$
那么傳送帶速度為：v≥6m/s
物塊才能在AB做勻加速運(yùn)動(dòng)，在B處的速度最大，小物塊落地點(diǎn)D到C的距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為：
x=v_Bmaxt₃=1.8m；
答：（ 1 ）若傳送帶運(yùn)行速率v=3m/s，小物塊落地時(shí)速度大小為$3\sqrt{2}m/s$，方向與水平方向的夾角為45°；
（ 2 ）若傳送帶運(yùn)行速率v=1m/s，小物塊從滑上傳送帶到落地所用時(shí)間為8.05s；
（ 3 ）當(dāng)傳送帶運(yùn)行速率v≥6m/s時(shí)，小物塊落地點(diǎn)D到C的距離最遠(yuǎn)，這個(gè)最遠(yuǎn)距離為1.8m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．