Question

(12分)如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)。水平桌面右側(cè)有一豎直放置的軌道MNP，其形狀為半徑R＝1.0m圓環(huán)剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的數(shù)值距離是h＝2.4m。用質(zhì)量m₁＝0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)，用同種材料、質(zhì)量為m₂＝0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊通過B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動，其位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝6t－2t²，物塊飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道(不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²)。求：

⑴物塊m₂過B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度v_B及與桌面間的滑動摩擦因數(shù)μ；
⑵若軌道MNP光滑，物塊m₂經(jīng)過軌道最低點(diǎn)N時(shí)對軌道的壓力F_N；＝×－·
⑶若物塊m₂剛好能到達(dá)軌道最高點(diǎn)M，則釋放m₂后整個(gè)運(yùn)動過程中其克服摩擦力做的功W。

Answer 1

⑴v_B＝6m/s，μ＝0.4；⑵F_N＝16.8N；⑶W＝8.0J

試題分析：⑴由題意質(zhì)量為m₂的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊通過B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動，其位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝6t－2t²可知，物塊m₂過B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度為：v_B＝6m/s，加速度為：a＝－4m/s²①
物塊離開B點(diǎn)后在桌面上受重力m₂g、桌面的支持力N和滑動摩擦力f作用，根據(jù)牛頓第二定律可知，在水平方向上有：－f＝m₂a               ②
在豎直方向上有：N－m₂g＝0              ③
根據(jù)滑動摩擦定律有：f＝μN(yùn)               ④
由①②③④式聯(lián)立解得：μ＝＝0.4
⑵物塊從D點(diǎn)離開桌面后做平拋運(yùn)動，設(shè)至P點(diǎn)時(shí)速度在豎直方向上的分量為v_y，則在豎直方向上，根據(jù)自由落體運(yùn)動規(guī)律有：h＝           ⑤
因物塊由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道，由幾何關(guān)系和物塊水平方向做勻速運(yùn)動的規(guī)律可知：v_y＝v_Dtan60° ⑥
物塊由D運(yùn)動至N的過程中，只有重力做功，根據(jù)動能定理有：m₂g(h＋R－Rcos60°)＝－⑦
在N點(diǎn)處，物塊受重力m₂g和圓軌道的支持力F_N′作用，根據(jù)牛頓第二定律有：F_N′－m₂g＝  ⑧
根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊m₂經(jīng)過軌道最低點(diǎn)N時(shí)對軌道的壓力F_N＝F_N′             ⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨式聯(lián)立解得：F_N＝＋m₂g(3－2cos60°)＝16.8N
⑶設(shè)CB距離為x₁，BD距離為x₂，在物塊m₁由C運(yùn)動至B的過程中，根據(jù)功能關(guān)系有：E_p＝μm₁gx₁  ⑩
在物塊m₂由C運(yùn)動至B的過程中，根據(jù)功能關(guān)系有：E_p＝μm₂gx₁＋            ?
在物塊m₂由B運(yùn)動至D的過程中，根據(jù)動能定理有：－μm₂gx₂＝－          ?
由于物塊m₂恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)M，設(shè)通過速度為v_M，根據(jù)牛頓第二定律有：m₂g＝  ?
設(shè)物塊m₂運(yùn)動至P點(diǎn)時(shí)的速度為v_P，在m₂由P運(yùn)動至M的過程中，克服摩擦力做功為W₃，根據(jù)動能定理有：－m₂g(R＋Rcos60°)－W₃＝－          ?
根據(jù)幾何關(guān)系可知：v_P＝          ?
釋放m₂后整個(gè)運(yùn)動過程中其克服摩擦力做的功為：W＝μm₂gx₁＋μm₂gx₂＋W₃             ?
由①⑤⑥⑩??????式聯(lián)立解得：W＝＋m₂gh(－)－m₂gR(＋cos60°)
代入數(shù)據(jù)解得：W＝7.2J＋4.8J－4.0J＝8.0J