Question

17．如圖所示，一足夠大的傾角θ=30°的粗糙斜面上有一個(gè)粗細(xì)均勻的由同種材料制成的金屬線(xiàn)框abcd，線(xiàn)框的質(zhì)量m=0.6kg，其電阻值R=1.0Ω，ab邊長(zhǎng)L₁=1m，bc邊長(zhǎng)L₂=2m，與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$．斜面以EF為界，EF上側(cè)有垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一物體通過(guò)絕緣細(xì)線(xiàn)跨過(guò)光滑定滑輪與線(xiàn)框相連，連接線(xiàn)框的細(xì)線(xiàn)與斜面平行且線(xiàn)最初處于松弛狀態(tài)．現(xiàn)先釋放線(xiàn)框再釋放物體，當(dāng)cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線(xiàn)框即以v=2m/s的速度勻速下滑，在ab邊運(yùn)動(dòng)到EF位置時(shí)，細(xì)線(xiàn)恰好被拉直繃緊（極短時(shí)間內(nèi)線(xiàn)框速度變化且反向），隨即物體和線(xiàn)框一起勻速運(yùn)動(dòng)t=2s后開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)．取g=10m/s²，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）物體勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a；
（3）若已知在線(xiàn)框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)至重新進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為21.6J，求繩子突然繃緊過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)框做勻速下滑，結(jié)合平衡，根據(jù)安培力表達(dá)式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)位移公式求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度，對(duì)線(xiàn)框和物體分別運(yùn)用共點(diǎn)力平衡得出物體的質(zhì)量，對(duì)整體分析，根據(jù)牛頓第二定律得出加速度．
（3）根據(jù)線(xiàn)框勻速下滑和上滑過(guò)程中重力勢(shì)能的變化，結(jié)合能量守恒求出繩子突然繃緊過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E．

解答 解：（1）當(dāng)cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線(xiàn)框即以v=2m/s的速度勻速下滑，
根據(jù)平衡有：$mgsinθ=μmgcosθ+\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得B=1T．
（2）由題意，線(xiàn)框第二次勻速運(yùn)動(dòng)方向向上，設(shè)其速度為v₁，細(xì)線(xiàn)拉力為T(mén)，
則勻速運(yùn)動(dòng)的速度：v₁=$\frac{{L}_{2}}{t}=\frac{2}{2}m/s=1m/s$，
對(duì)線(xiàn)框，由平衡條件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}v}{R}$=0，
對(duì)物體，由平衡條件得：T-Mg=0，
代入數(shù)據(jù)解得M=0.8kg，
當(dāng)線(xiàn)框全部進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，對(duì)整體分析，加速度a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{M+m}$=$\frac{8-6×\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{9}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.6+0.8}$m/s²=$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$．
（3）線(xiàn)框勻速下滑過(guò)程：E₁=mgL₂sinθ=$0.6×10×2×\frac{1}{2}J=6J$，線(xiàn)框勻速上滑過(guò)程：E₂=MgL₂-mgL₂sinθ=8×2-6=10J
損失的機(jī)械能：△E′=E₁+△E+E₂，
代入數(shù)據(jù)解得：△E=5.6J．
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為1T；
（2）物體勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度a為$\frac{20}{7}m/{s}^{2}$；
（3）繩子突然繃緊過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E為5.6J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合題，難度較大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、能量守恒定律可以解題．