Question

18．我國(guó)“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星成功發(fā)射．“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星開始繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過變軌、制動(dòng)后，成為一顆繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知月球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 研究“嫦娥一號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式．
根據(jù)密度的公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）研究“嫦娥二號(hào)”繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}}}$
（2）忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：
月球表面：$G\frac{Mm}{{{R′}^{2}}^{\;}}$=mg
月球表面的重力加速度$g=\frac{{4{π^2}{{（R+h）}^3}}}{{{T^2}{R^2}}}$
（3）月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$
得：$ρ=\frac{{3π{{（R+h）}^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$
答：（1）月球的質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度g是$\frac{4{π}^{2}{（R+h）}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$；
（3）月球的密度ρ是$\frac{3π{（R+h）}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．
萬(wàn)有引力定律得應(yīng)用要結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)解決問題．