Question

8．極地衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道）．如圖所示，若某極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運行至南緯60°正上方，所用時間為t，已知地球半徑為R（地球可看做球體），地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，由以上條件可知（　�。�

• A． 衛(wèi)星運行的角速度為$\frac{π}{4t}$
• B． 地球的質(zhì)量為$\frac{gR}{G}$
• C． 衛(wèi)星運行的線速度為3$\sqrt{\frac{{4πg(shù)R}^{2}}{t}}$
• D． 衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)半徑為3$\sqrt{\frac{{{4gR}^{2}t}^{2}}{{π}^{2}}}$

Answer 1

分析 衛(wèi)星做勻速圓周運動，根據(jù)角速度的定義求解角速度；根據(jù)地球表面重力等于萬有引力求解地球的質(zhì)量；根據(jù)衛(wèi)星運動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供求解衛(wèi)星的半徑，根據(jù)線速度和角速度的關(guān)系求解線速度．

解答 解：A、衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運行到南緯60°的正上方時，剛好完成的角度為$\frac{π}{2}$，則運行的角速度$ω=\frac{\frac{π}{2}}{t}=\frac{π}{2t}$，故A錯誤；
B、根據(jù)地球表面重力等于萬有引力，有：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，故B錯誤；
D、衛(wèi)星運動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供，故：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：
r=$\root{3}{\frac{4g{R}^{2}{t}^{2}}{{π}^{2}}}$，
線速度v=ωr=$\root{3}{\frac{πg(shù){R}^{2}}{2t}}$，故C錯誤，D正確．
故選：D

點評 靈活運動用重力和萬有引力相等以及萬有引力提供圓周運動的向心力是解決本題的關(guān)鍵，難度適中．