Question

4．在足夠長(zhǎng)的光滑水平面上有一個(gè)寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域，只要物體在此區(qū)域內(nèi)就會(huì)受到水平向右的恒力F作用．兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球如圖所示放置，B球靜止于區(qū)域的右邊界，現(xiàn)將A球從區(qū)域的左邊界由靜止釋放，A球向右加速運(yùn)動(dòng)，在右邊界處與B球碰撞（碰撞時(shí)間極短）．若兩球只發(fā)生一次碰撞，且最終兩球的距離保持$\frac{4L}{9}$不變，求
（1）A、B兩球的質(zhì)量之比；
（2）碰撞過程中A、B系統(tǒng)機(jī)械能的損失．

Answer 1

分析 （1）兩球只發(fā)生一次碰撞，且兩球的距離保持不變，可知第一次碰撞后，A、B兩球的速度大小相等，方向相反，抓住A在矩形區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理求出A、B碰撞前后的速度關(guān)系，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出A、B的質(zhì)量關(guān)系．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出A、B系統(tǒng)損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）兩球只發(fā)生一次碰撞，且最終兩球的距離保持$\frac{4L}{9}$不變，
可知A、B兩球第一次碰撞后速度大小相等，方向相反，設(shè)均為v，
A返回矩形區(qū)域后先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)該過程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則A返回向左的最大距離$x=\frac{v}{2}•\frac{t}{2}$，
對(duì)B有：$\frac{4}{9}L=vt$，
解得x=$\frac{1}{9}L$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，$FL=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}$，$Fx=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$，
聯(lián)立解得v₀=3v．
對(duì)第一次碰撞的過程，根據(jù)動(dòng)量守恒有：m_Av₀=m_A•（-v）+m_Bv，
解得$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）系統(tǒng)損失的機(jī)械能$△E=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}$，
又$FL=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}$，
聯(lián)立解得△E=$\frac{4}{9}FL$．
答：（1）A、B兩球的質(zhì)量之比為1：4；
（2）碰撞過程中A、B系統(tǒng)機(jī)械能的損失為$\frac{4}{9}FL$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合運(yùn)用，知道A、B碰撞后速度大小相等，方向相反是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)用動(dòng)量守恒解題時(shí)注意速度的方向．