Question

12．星際探測是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題．如圖，某探測器從空間的O點沿直線ON從靜止開始以加速度α作勻加速直線運動，兩個月后與地球相遇于P點，再經(jīng)兩個月與地球相遇于Q點，已知引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T（12個月），忽略天體對探測器的影響，則可估測太陽質(zhì)量為（　�。�

• A． $\frac{{{π^2}{α^3}{T^4}}}{3546G}$
• B． $\frac{{{π^2}{α^3}{T^4}}}{3456G}$
• C． $\frac{3456G}{{{π^2}{α^3}{T^4}}}$
• D． $\frac{3546G}{{{π^2}{α^3}{T^4}}}$

Answer 1

分析 地球繞太陽做勻速圓周運動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關系式；
對于探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，根據(jù)運動學公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關系．由幾何知識得到：PQ對應的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關系，即可聯(lián)立求得太陽的質(zhì)量．

解答 解：對地球：由太陽的萬有引力提供向心力，則有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$  ①
解得$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$②
對探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，則有
PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{3}）^{2}-\frac{1}{2}a（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{1}{24}a{T}^{2}$ ③
二個月為$\frac{T}{6}$，則PQ所對的圓心角為：θ=60° ④
由幾何關系得：r=PQ
代入上式得M=$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$．
故選：B．

點評 本題是萬有引力與勻變速運動的綜合，關鍵找出地球與探測器之間的時間關系，運用幾何知識得到PQ與r的關系．