Question

16．如圖所示，兩根輕繩同系一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m，當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為30°和45°，小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（g取10m/s²）求：
（1）當(dāng)AC，BC均處于拉直狀態(tài)，且BC繩拉力恰好為零時(shí)，小球的角速度為多少？
（2）當(dāng)AC，BC均處于拉直狀態(tài)，且AC繩拉力恰好為零時(shí)，小球的角速度為多少？
（3）當(dāng)小球的角速度為ω=4rad/s時(shí)，上下兩輕繩拉力各為多少？

Answer 1

分析 當(dāng)AC繩拉直但沒有力時(shí)，BC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出此時(shí)的角速度，當(dāng)BC繩拉直但沒有力時(shí)，AC繩子拉力的水平分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出角速度，當(dāng)角速度處于兩者之間時(shí)，兩繩均張緊；當(dāng)ω=4rad/s時(shí)，AC、BC繩子拉力的水平分力的合力提供向心力，豎直方向分力之和與重力平衡，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)恰好只有AC繩拉緊，而BC繩拉直但無拉力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan30°=mω²r
解得：ω=2.4 rad/s
（2）當(dāng)AC繩拉直但沒有力時(shí)，即F_T1=0時(shí)，由重力和繩BC的拉力F_T2的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgtan45°=mω_max²r
其中：r=l•sin30° 
解得：ω_max=3.16 rad/s
（3）由（1）（2）可知當(dāng)2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s時(shí)兩繩均張緊．
當(dāng)ω=4 rad/s時(shí)，AC繩無拉力，
BC繩與桿的夾角θ＞45°．
設(shè)此時(shí)BC與豎直方向的夾角為θ，對小球有：T₂cosθ=mg
${T}_{2}sinθ=m{ω}^{2}BCsinθ$
而ACsin30°=BCsin45°
聯(lián)立可解得  T₂=2.3N，T₁=0．
答：（1）當(dāng)恰好只有AC繩拉緊，而BC繩拉直但無拉力時(shí)，球的角速度大小為2.4 rad/s；
（2）小球的角速度為3.16 rad/s；
（3）當(dāng)ω=4rad/s時(shí)，AC繩拉力為0，BC繩拉力2.3N．

點(diǎn)評 本題中球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力的水平分力提供向心力，關(guān)鍵受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解．