Question

4．如圖所示，足夠長且電阻不計的光滑導軌PQ、MN相距d=1m，其與水平面夾角為α，整個導軌所在區(qū)域有勻強磁場，磁場方向垂直于導軌平面斜向上；長為1m的金屬棒ab垂直于導軌放置，且接觸良好，金屬棒質(zhì)量為0.1kg且電阻r=1Ω；導軌右側(cè)電路中燈泡的電阻R_L=3Ω、定值電阻R₁=7Ω；現(xiàn)調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=6Ω，在t=0時刻由靜止釋放ab，t=0.25s時刻閉合開關S，此時金屬棒的速度v₁=1.5m/s，此后ab棒做變加速運動且最終以v₂=6m/s做勻速直線運動，重力加速度大小g=10m/s²．
（1）求ab由靜止下滑△x=40m（ab棒已達到最大速度）的過程中，R₁中產(chǎn)生的熱量；
（2）改變電阻箱R₂的值，ab勻速下滑中R₂消耗的功率隨R₂改變而變化，求R₂消耗的最大功率．

Answer 1

分析 （1）導體棒勻加速過程，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度表達式，再根據(jù)速度時間關系公式求解加速度，聯(lián)立得到斜面的傾斜角度；從釋放到達到最大速度的過程中，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能和電熱，根據(jù)功能關系列式求解得到電熱，再結(jié)合串并聯(lián)電路的規(guī)律得到R₁中產(chǎn)生的熱量；
（2）導體棒最終勻速，根據(jù)平衡條件和安培力公式可知最大速度固定，最大電流也固定，寫出R₂消耗的功率的表達式，分析最大值．

解答 解：（1）電鍵閉合前，導體棒做勻加速直線運動，根據(jù)速度公式，有：a=$\frac{{v}_{1}}{t}=\frac{1.5}{0.25}m/{s}^{2}=6m/{s}^{2}$，
在勻加速階段，根據(jù)牛頓第二定律，有：mgsinα=ma，解得：sianα=$\frac{a}{g}$=0.6，故α=37°；
從釋放到達到最大速度的過程中，由功能關系有：mg$△xsinα=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+Q_總，
根據(jù)串并聯(lián)電路的規(guī)律，有Q₁=Q_總•$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+r+{R}_{2L}}$，${R}_{2L}=\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$，
則代入數(shù)據(jù)解得：Q₁=15.54W；
（2）在R₂=6Ω且棒勻速段有：mgsinα=BId，
而I=$\frac{E}{{R}_{1}+r+{R}_{2L}}$，
且E=Bdv₂，
代入數(shù)據(jù)后，聯(lián)立解得：B=$\sqrt{0.9}$T，I=$\frac{\sqrt{10}}{5}$A；
改變R₂電阻值，當ab棒再次勻速滑動，則mgsinα=BI′d，
顯然，電流大小不變，電阻R₂消耗的功率：P=$（\frac{{R}_{L}I′}{{R}_{L}+{R}_{2}}）^{2}{R}_{2}$=$\frac{3.6}{{R}_{2}+\frac{9}{{R}_{2}}+3}$，
由于${R}_{2}+\frac{9}{{R}_{2}}≥2\sqrt{{R}_{2}}\sqrt{\frac{9}{{R}_{2}}}$=6，（${R}_{2}=\frac{9}{{R}_{2}}$時取等號），故當R₂=3Ω，P最大，為0.4W；
答：（1）ab由靜止下滑△x=40m（ab棒已達到最大速度）的過程中，R₁中產(chǎn)生的熱量為15.54J；
（2）R₂消耗的最大功率為0.4W．

點評 本題是滑軌問題與電路問題相結(jié)合，關鍵是受力分析后根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，還要結(jié)合功能關系列式分析，對于功率極值問題，要推導出表達式后利用解析法分析．