Question

在如圖（a）所示的正方形平面oabc內(nèi)存在著垂直于該平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，已知正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（不計(jì)重力）在t=0時(shí)刻平行于oc邊從o點(diǎn)射入磁場(chǎng)中．
（1）若帶電粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及初速度大��；
（2）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按如圖（b）所示的規(guī)律變化，規(guī)定磁場(chǎng)向外的方向?yàn)檎�方向，磁感�?yīng)強(qiáng)度的大小為B₀，要使帶電粒子從b點(diǎn)沿著ab方向射出磁場(chǎng)，求滿足這一條件的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T及粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度v_m．
（3）若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按如圖（b）所示的規(guī)律變化，規(guī)定磁場(chǎng)向外的方向?yàn)檎�方向，磁感�?yīng)強(qiáng)度的大小為B₀，假使帶電粒子能從oa邊界射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化周期T的最小值；

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)半周，由牛頓定律和幾何關(guān)系求解．
（2）由牛頓定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期．根據(jù)軌跡分析在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度，確定磁場(chǎng)變化的周期與粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，粒子在磁場(chǎng)變化的一個(gè)周期內(nèi)到達(dá)b點(diǎn)，其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，速度最大．由幾何知識(shí)求出最大的半徑，再牛頓定律求出最大的速度．
（3）畫(huà)出帶電粒子恰好能從oa邊界射出磁場(chǎng)時(shí)的軌跡，分析在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，根據(jù)幾何知識(shí)確定粒子圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角度，研究磁場(chǎng)變化的周期與粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系求解．

解答：解：（1）若帶電粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=

L

2

        帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T₀=

2πr

v

=

2πm

qB

        所需時(shí)間t=

T0

2

=

πm

qB

        又根據(jù)qv₀B=m

v 2 0

r

       得v₀=

qBL

2m

    （2）若使粒子從b點(diǎn)沿著ab方向射出磁場(chǎng)，軌跡如圖．
   在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)的角度為90°，
       即

T

2

=

T0

4

   則磁場(chǎng)變化的周期為T(mén)=

πm

qB0

   由幾何關(guān)系知圓弧半徑為r=

L

2

   又由qv_mB₀=m

v 2 m

r

        得v_m=

qB0L

2m

（3）要使粒子從oa邊射出，其臨界狀態(tài)軌跡如圖所示
   則有sinα=

1

2

，α=30°
   在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)150°角，
   運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

5

12

T0=

5πm

6qB0

     而又t=

T

2

   故磁場(chǎng)變化的最小周期為T(mén)=

5πm

3qB0

答：（1）若帶電粒子從a點(diǎn)射出磁場(chǎng)，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πm

qB

，初速度大小為

qBL

2m

．
    （2）磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T為

πm

qB0

，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度v_m為

qB0L

2m

．
    （3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化周期T的最小值為

5πm

3qB0

．

點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵在于畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期與磁場(chǎng)變化周期的關(guān)系．粒子圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間往往根據(jù)軌跡的圓心角與周期的關(guān)系確定，t=

θ

2π

T，θ為圓心角．