Question

5．如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，已知O點到斜面底邊的距離OC=L．
（1）求小球通過最高點A時的速度表達式v_A？
（2）若小球通過最低點B時，細線對小球拉力表達式T_B=6mgsinθ，當小球運動到A點或B點時剪斷細線，小球滑落到斜面底邊時到C點的距離相等，求l和L應滿足的關系？

Answer 1

分析 小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，結合牛頓第二定律求出最高點A的速度表達式．
細線斷裂后做類平拋運動，抓住小球滑落到斜面底邊時到C點的距離相等，求出l和L的關系．

解答 解：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，小球通過A點時細線的拉力為零，根據(jù)圓周運動和牛頓第二定律有：$mgsinθ=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{l}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$．
（2）小球在B點時根據(jù)圓周運動和牛頓第二定律有：T-mgsinθ=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{5glsinθ}$．                                                   　
小球運動到A點或B點時細線斷裂，小球在平行底邊方向做勻速運動，在垂直底邊方向做初速為零的勻加速運動（類平拋運動）
類平拋運動的加速度：a=gsinθ                           
細線在A點斷裂：L+l=$\frac{1}{2}a{{t}_{A}}^{2}$，s_A=v_At_A．
細線在B點斷裂：L-l=$\frac{1}{2}a{{t}_{B}}^{2}$，s_B=v_Bt_B．
又s_A=s_B，
聯(lián)立解得：L=$\frac{3}{2}l$．
答：（1）小球通過最高點A時的速度表達式為${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$；
（2）l和L應滿足的關系為L=$\frac{3}{2}l$．

點評 本題考查了圓周運動和類平拋運動的綜合，知道圓周運動向心力的來源，以及類平拋運動在水平方向和沿斜面向下方向的運動規(guī)律是解決本題的關鍵．