Question

5．如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長(zhǎng)為l的細(xì)線(xiàn)，細(xì)線(xiàn)的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，已知O點(diǎn)到斜面底邊的距離OC=L．
（1）求小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度表達(dá)式v_A？
（2）若小球通過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線(xiàn)對(duì)小球拉力表達(dá)式T_B=6mgsinθ，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)剪斷細(xì)線(xiàn)，小球滑落到斜面底邊時(shí)到C點(diǎn)的距離相等，求l和L應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系？

Answer 1

分析 小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律求出最高點(diǎn)A的速度表達(dá)式．
細(xì)線(xiàn)斷裂后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，抓住小球滑落到斜面底邊時(shí)到C點(diǎn)的距離相等，求出l和L的關(guān)系．

解答 解：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)的拉力為零，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓第二定律有：$mgsinθ=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{l}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$．
（2）小球在B點(diǎn)時(shí)根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓第二定律有：T-mgsinθ=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{5glsinθ}$．                                                   　
小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)細(xì)線(xiàn)斷裂，小球在平行底邊方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在垂直底邊方向做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)（類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)）
類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的加速度：a=gsinθ                           
細(xì)線(xiàn)在A(yíng)點(diǎn)斷裂：L+l=$\frac{1}{2}a{{t}_{A}}^{2}$，s_A=v_At_A．
細(xì)線(xiàn)在B點(diǎn)斷裂：L-l=$\frac{1}{2}a{{t}_{B}}^{2}$，s_B=v_Bt_B．
又s_A=s_B，
聯(lián)立解得：L=$\frac{3}{2}l$．
答：（1）小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度表達(dá)式為${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$；
（2）l和L應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系為L(zhǎng)=$\frac{3}{2}l$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和沿斜面向下方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．