Question

10．如圖所示，水平傳送帶AB長(zhǎng)L=11m，以v₀=4m/s的恒定速度轉(zhuǎn)動(dòng)，水平光滑臺(tái)面與傳送帶平滑連接于B點(diǎn)，豎直平面內(nèi)的半圓形光滑軌道半徑R=0.4m，與水平臺(tái)面相切于C點(diǎn)，一質(zhì)量m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），從A點(diǎn)無(wú)初速度釋放，物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．試求：
（1）物塊剛滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N；
（2）物塊在A(yíng)點(diǎn)至少要具有多大的速度，才能通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)D？

Answer 1

分析 （1）求得物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求得對(duì)軌道的壓力；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得能過(guò)最高點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析物塊在A(yíng)點(diǎn)時(shí)至少需要達(dá)到的速度．

解答 解：（1）物塊在傳送帶上在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知，加速度a=$\frac{f}{m}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，當(dāng)物塊加速至傳送帶速度時(shí)的位移x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{4}^{2}}{2×2}m=4m$＜L
所以物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B=v₀=4m/s
因?yàn)樗�平平臺(tái)光滑，所以從B到C物塊勻速運(yùn)動(dòng)，即v_C=v_B=4m/s
在C點(diǎn)，物塊所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
${F}_{N}′-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
可得軌道對(duì)物塊的支持力${F}_{N}′=mg+m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}=1×10+1×\frac{{4}^{2}}{0.4}N=50N$
根據(jù)牛頓第三定律知，物塊對(duì)軌道的壓力F_N大小為50N，方向豎直向下．
（2）物塊經(jīng)過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)D的最小速度為：${v}_{D}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}m/s=2m/s$
由C到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{v}_{D}^{2}+4gR}=\sqrt{4+4×10×0.4}m/s=\sqrt{20}m/s$＞4m/s
可見(jiàn)，物塊從A到B的全過(guò)程中一直做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B端的速度至少為：${v}_{B}′={v}_{C}=\sqrt{20}m/s$
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${v}_{B}{′}^{2}-{v}_{A}{′}^{2}=-2aL$
解得：${v}_{A}′=\sqrt{{v}_{B}{′}^{2}+2aL}$=$\sqrt{20+2×2×11}m/s=8m/s$
答：（1）物塊剛滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N為40N，方向豎直向下；
（2）物塊在A(yíng)點(diǎn)至少要具有8m/s的速度，才能通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)D．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是分析物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，通過(guò)計(jì)算進(jìn)行分析，知道能通過(guò)D點(diǎn)的臨界速度．