Question

10．一只船在靜水中的速度為3m/s，它要橫渡一條30m寬的河，水流速度為4m/s，
（1）如果要用最短的時間渡河，則船身應(yīng)該沿著什么方向？此時的渡河時間和渡河的位移分別是多少？
（2）如果要用最短的位移渡河，則船身應(yīng)該沿著什么方向？此時的渡河的位移和渡河時間分別是多少？（計算結(jié)果可用根式和反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 當靜水速的方向與河岸垂直時，渡河時間最短；因為靜水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，渡河位移最短．

解答 解：
（1）如果要用最短的時間渡河，則船身應(yīng)該垂直于河岸，
如右圖所示：
此時的渡河時間為t_min=$\frace4ssqqg{v1}$=10 s
此時的渡河的位移l=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}$t_min=50 m；
（2）由于v₂＞v₁，以v₂矢量的末端為圓心，以v₁的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與下游河岸的夾角最大（設(shè)為α），此時航程最短．設(shè)船頭指向與上游河岸成θ′角，
由圖可知
cos θ′=sin α=$\frac{v_1}{v_2}=\frac{3}{4}$，θ′=arccos$\frac{3}{4}$，
因此要用最短的位移渡河，則船身應(yīng)該斜向上游河岸，并與上游河岸成arccos$\frac{3}{4}$角；
最短航程為s=$\fracou4ka42{sinα}$=$\frac{v2}{v1}$d=40m
此時v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}$=$\sqrt{42-32}$ m/s=$\sqrt{7}$ m/s
渡河時間為$t=\frac{s}{v}=\frac{40}{{\sqrt{7}}}s=\frac{40}{7}\sqrt{7}s$
答：（1）如果要用最短的時間渡河，則船身應(yīng)該沿著垂直于河岸，此時的渡河時間為10s，渡河的位移是50m，
（2）如果要用最短的位移渡河，則船身應(yīng)該斜向上游河岸，并與上游河岸成arccos$\frac{3}{4}$角，此時的渡河的位移為40m，渡河時間是$\frac{40}{7}\sqrt{7}s$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道合運動與分運動具有等時性，以及知道靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短．若靜水速大于水流速，合速度方向與河岸垂直時，渡河位移最短；若靜水速小于水流速，則合速度方向與靜水速方向垂直時，渡河位移最短．