Question

15．雙星靠相互吸引繞同一固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知它們的質(zhì)量分別為M和m，則它們的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為R：r=m：M，設(shè)兩星距離為L(zhǎng)，則質(zhì)量為M的星運(yùn)動(dòng)速度大小為v=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$（萬(wàn)有引力恒量為G）．

Answer 1

分析 “雙星”圍繞它們連線上的同一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩者的周期、角速度相同，由對(duì)方的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)兩星進(jìn)行列方程求解．

解答 解：設(shè)“雙星”的角速度為ω，根據(jù)牛頓第二定律得
對(duì)星M：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}R$   ①
對(duì)星m：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}r$   ②
由①：②得R：r=m：M
所以R=$\frac{m}{M+m}L$
對(duì)于M星，萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=M\frac{{v}^{2}}{R}$
得$v=\sqrt{\frac{GmR}{{L}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{Gm}{{L}^{2}}•\frac{m}{M+m}L}$=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$
故答案為：m：M；$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$

點(diǎn)評(píng) “雙星”是萬(wàn)有引力部分常見的題型，關(guān)鍵抓住“雙星”的條件：角速度相同、周期相同，采用隔離法由牛頓第二定律研究．