Question

14．如圖所示，AB與CD是兩段半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，圓心連線O₁O₂水平，BC錯(cuò)開的距離略大于小球的直徑，整個(gè)裝置豎直放置于水平長(zhǎng)軌道MN上，AB與水平軌道MN相切于A點(diǎn)．有一自由長(zhǎng)度小于MP的輕彈簧左端固定于M處，右端與質(zhì)量為m的小球接觸（不拴接）．水平軌道MP段光滑，PA段粗糙、長(zhǎng)為2R，運(yùn)動(dòng)小球受到PA段阻力為小球重力的0.25倍．開始時(shí)，彈簧處于被壓縮的鎖定狀態(tài)，鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能E_P=5mgR，解除鎖定后，小球?qū)⒈粡棾�，重力加速度為g，試計(jì)算：
（1）小球?qū)�圓弧軌道A點(diǎn)壓力的大小和方向；
（2）判斷小球能否過(guò)D點(diǎn)，若能過(guò)D點(diǎn)，則計(jì)算小球落在軌道MN上的位置離D點(diǎn)的水平距離．

Answer 1

分析 （1）解除彈簧鎖定后，彈簧彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球動(dòng)能，由機(jī)械能守恒定律求出小球獲得的速度．小球從P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度．在A點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求得支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）根據(jù)重力等于向心力求出小球能過(guò)D點(diǎn)的臨界速度．再由能量守恒定律求出能過(guò)D點(diǎn)時(shí)彈簧彈性勢(shì)能的臨界值，即可分析小球能否過(guò)D點(diǎn)．若能過(guò)D點(diǎn)，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離．

解答 解：（1）解除彈簧鎖定后，彈簧彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球動(dòng)能，則有：
E_P=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                                       
小球從P運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-f•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                                      
小球到圓弧軌道A點(diǎn)時(shí)，設(shè)小球受軌道的彈力為N，運(yùn)用牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由以上三式，代入f=0.25mg，E_P=5mgR等，得：
N=10mg
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�圓弧軌道A點(diǎn)壓力 N′=N=10mg，方向垂直水平軌道向下．
（2）如果小球恰好能經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，速度為v_D0，則有：
mg=m$\frac{{v}_{D0}^{2}}{R}$                                                    
小球從P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-f•2R-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{D0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$                               
小球恰能到達(dá)D點(diǎn)所需的彈性勢(shì)能為：
E_p0=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$           
聯(lián)立解得：E_p0=3mgR
因?yàn)镋_P=5mgR＞E_p0，所以小球能過(guò)D點(diǎn)，并從D點(diǎn)水平拋出，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，得：
E_P=f•2R+mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
從D點(diǎn)平拋后，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Dt
解得：x=2$\sqrt{5}$R
答：（1）小球?qū)�圓弧軌道A點(diǎn)壓力的大小是10mg，方向垂直水平軌道向下；
（2）小球能過(guò)D點(diǎn)，小球落在軌道MN上的位置離D點(diǎn)的水平距離是2$\sqrt{5}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵上要掌握機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式及圓周運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)的臨界條件．要注意小球到達(dá)C點(diǎn)臨界速度不是零，要由重力等于向心力求出．