Question

9．傳送帶在工農業(yè)生產和日常生活中都有廣泛的應用，例如在港口用傳送帶運輸貨物，在機場上用傳送帶將地面上的行李傳送到飛機上等，如圖所示，一質量為m，電阻為R，邊長為L的正方形單匝閉合金屬線框隨水平絕緣傳送帶以恒定速度v₀向右運動，通過一固定的磁感應強度為B，方向垂直于傳送帶平面向下的勻強磁場區(qū)域．已知磁場邊界MN、PQ與傳送帶運動方向垂直，MN與PQ間的距離為d（L＜d），線框與傳送帶間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g．金屬框穿過磁場的過程中將與傳送帶產生相對滑動，且右側邊經過邊界PQ時又恰好與傳送帶的速度相同，設傳送帶足夠長，且金屬框始終保持右側邊平行于磁場邊界．求：
（1）線框的右側邊剛進入磁場時所受安培力的大��；
（2）線框在進入磁場的過程中運動加速度的最大值以及速度的最小值；
（3）線框在穿過磁場區(qū)域的過程中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據安培力的計算公式F=BIL結合法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律求解；
（2）線框進入磁場時加速度最大，根據牛頓第二定律求解最大加速度；在線框完全進入磁場到右邊到達PQ的過程中，根據動能定理求解最小的速度；
（3）根據動能定理求解進入過程中克服安培力做的功，由能量守恒定律求解線框在穿過磁場區(qū)域的過程中產生的焦耳熱．

解答 解：（1）閉合銅線右邊剛進入磁場時產生的感應電動勢E=BLv₀，
根據閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$，
右側邊所受的安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線框以速度v₀進入磁場，在進入磁場的過程中，受安培力而做減速運動；進入磁場后，在摩擦力作用下做加速運動，當其右側邊達到PQ時速度又恰好等于v₀，因此線框在剛進入磁場時，所受安培力最大，加速度最大，設為a_m，線框全部接入磁場時速度最小，設此時線框的速度為v；
根據牛頓第二定律可得：F-μmg=ma_m，
解得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}-μg$；
在線框完全進入磁場到右邊到達PQ的過程中，根據動能定理可得：
μmg（d-L）=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）設線框在進入磁場區(qū)域的過程中，克服安培力做的功為W，根據動能定理可得：
μmgL-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：W=μmgd，
閉合線框出磁場與進入磁場受力情況相同，由能量守恒定律可得：
線框在穿過磁場區(qū)域的過程中產生的焦耳熱Q=2W=2μmgd．
答：（1）線框的右側邊剛進入磁場時所受安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線框在進入磁場的過程中運動加速度的最大值為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}-μg$，速度的最小值為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）線框在穿過磁場區(qū)域的過程中產生的焦耳熱2μmgd．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解．