Question

6．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸下方各個(gè)方向源源不斷地發(fā)射速度大小都是v₀的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m、電量為q；在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y≥d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xOy，平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$如圖所示．測(cè)得進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的速率均為2v₀，（忽略粒子的重力以及彼此間的相互作用）
（1）現(xiàn)將一塊足夠大的平面感光板ab垂直于y軸放置于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的分界面MN處，求ab板上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度
（2）若將這塊平面感光板在磁場(chǎng)內(nèi)垂直于y軸放置，且發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰好無(wú)粒子打到ab板上，請(qǐng)確定感光板到x軸的距離d′
（3）若將平面感光板ab撤去，所有粒子將返回電場(chǎng)中，且不再返回磁場(chǎng)．請(qǐng)確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子沿x軸正方向或負(fù)方向射出的粒子打在ab板上時(shí)水平位移最大，該水平位移大小的2倍等于ab板上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．該帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的分位移與時(shí)間的關(guān)系求解．
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系得出粒子的軌道半徑，從而得出感光板到x軸的距離．
（3）沿x軸正方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由幾何關(guān)系求得軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求解最短的時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的速率為2v₀，初速度為v₀，根據(jù)速度的分解可得：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沿y軸的分速度為 v_⊥=$\sqrt{（2{v}_{0}）^{2}-{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{3}{v}_{0}$
粒子沿x軸負(fù)或正方向射出的粒子打在ab板上時(shí)水平位移最大，如圖所示．根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
沿y軸方向，有 d=$\frac{{v}_{⊥}}{2}$t
沿x軸方向，有 x=v₀t
聯(lián)立解得 x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
所以ab板上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度L=2x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d
（2）若沿x軸正方向發(fā)射的粒子恰好打不到板上，則為題目所求情形，設(shè)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與水平方向的夾角為θ．
由幾何關(guān)系可得：感光板到x軸的距離 d′=rcosθ+r+d
而tanθ=$\frac{{v}_{⊥}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，θ=60°
在磁場(chǎng)中，對(duì)粒子，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 r=$\frac{mv}{qB}$
將v=2v₀，B=$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$代入解得：r=$\fraccwn4cwq{2}$
所以感光板到x軸的距離d′=rcosθ+r+d=$\fraccux9f4t{2}$×cos60°+$\frac{1}{2}$d+d=$\frac{7}{4}$d
（3）沿x軸正方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，該粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為120°．
在磁場(chǎng)中，粒子的運(yùn)動(dòng)周期為 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最短時(shí)間為 t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{πd}{6{v}_{0}}$
答：
（1）ab板上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d．
（2）感光板到x軸的距離d′為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的最短時(shí)間為$\frac{πd}{6{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．