Question

12．在如圖所示電路中，電源電動勢E=6.3V，內(nèi)電阻r=0.50Ω．定值電阻R₁=2.0Ω，R₂=3.0Ω，R₃是最大電阻值為5.0Ω的滑動變阻器．接通開關(guān)K，調(diào)節(jié)滑動變阻器的觸點(diǎn)，求通過電源的電流范圍和電源輸出的最大電功率．

Answer 1

分析 設(shè)滑動變阻器與R₁并聯(lián)部分的電阻為R_右，根據(jù)電路的連接關(guān)系，推導(dǎo)出電路總電阻表達(dá)式，分析總電阻的最大值和最小值，即由閉合電路歐姆定律求得電源的電流最小值和最大值．由電源輸出功率的表達(dá)式結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)律可明確對應(yīng)的最大值．

解答 解：設(shè)R₃中與R₁串聯(lián)的那部分電阻為x，外電路的結(jié)構(gòu)是：x與R₁串聯(lián)、（R₃-x）與R₂串聯(lián)，然后這兩串電阻再并聯(lián)．
外電阻為$R=\frac{{（{R_1}+x）（{R_2}+{R_3}-x）}}{{{R_1}+R'+{R_2}+{R_3}-R'）}}=\frac{{（{R_1}+x）（{R_2}+{R_3}-x）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)兩數(shù)和為定值時(shí)：若兩數(shù)差值越大則其積越小，兩數(shù)差值越小則其積越大，兩數(shù)相等時(shí)其積最大．
要使通過電源的電流最小，外電阻應(yīng)當(dāng)最大．即當(dāng)R₁+x₁=R₂+R₃-x₁時(shí)，R最大，
解得x₁=3Ω．                                                                 
外電路最大電阻為${R_大}=\frac{{（{R_1}+{x_1}）（{R_2}+{R_3}-{x_1}）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}=\frac{（2+3）（3+5-3）}{2+3+5}Ω=2.5Ω$
通過電源的最小電流為${I_小}=\frac{E}{{{R_大}+r}}=\frac{6.3}{2.5+0.5}V=2.1A$
要使通過電源的電流最大，外電阻應(yīng)當(dāng)最�。�因?yàn)镽₁=2Ω＜R₂=3Ω，所以當(dāng)變阻器滑動頭滑到R₃左端點(diǎn)時(shí)兩部分電阻差值最大，此時(shí)x₂=0時(shí)，R最�。�              
外電路的最小電阻為${R_小}=\frac{{{R_1}（{R_2}+{R_3}）}}{{{R_1}+{R_2}+{R_3}}}=\frac{2×（3+5）}{2+3+5}Ω=1.6Ω$
通過電源的最大電流為${I_大}=\frac{E}{{{R_小}+r}}=\frac{6.3}{1.6+0.5}V=3.0A$
通過電源的電流范圍為2.1A≤I≤3.0A                          
電源輸出的電功率為$P={I^2}R={（\frac{E}{R+r}）^2}R=\frac{E^2}{{\frac{{{{（R-r）}^2}}}{R}+4r}}$
外電阻越接近內(nèi)電阻，電源輸出的電功率越大，當(dāng)外電阻最小時(shí)，外電阻最接近于內(nèi)電阻，此時(shí)電源輸出的電功率最大，最大輸出電功率為${P_大}=I_大^2{R_小}={3.0^2}×1.6W=11.4W$
答：通過電源的電流范圍2.1A≤I≤3.0A；電源輸出的最大電功率為11.4W．

點(diǎn)評 本題考查功率公式有閉合電路歐姆定律的應(yīng)用；要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解極值，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．