Question

10．在豎直平面內，以虛線為界分布著如圖所示的勻強電場和足夠大的勻強磁場，各區(qū)域磁場的磁感應強度大小均為B，勻強電場方向豎直向下，大小為E=$\frac{B{v}_{0}}{3}$；傾斜虛線與x軸之間的夾角為60°，一帶正電的C粒子從O點以速度v₀與y軸成30°角射入左側磁場，粒子經過傾斜虛線后進入勻強電場，恰好從圖中A點射入右側x軸下方磁場．已知帶正電粒子的電荷量為q，質量為m（粒子重力忽略不計）．試求：
（1）帶電粒子通過傾斜虛線時的位置坐標；
（2）粒子到達A點時速度的大小和方向以及勻強電場的寬度L；
（3）若從粒子到達A處開始計時，以后哪些時刻粒子經過x軸．

Answer 1

分析 （1）根據洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可解出軌跡半徑．再由幾何知識來算出位置的坐標；
（2）由幾何關系得知，粒子進入勻強電場做類平拋運動，因此可將其運動分解，根據牛頓第二定律與運動學公式去確定到達A點時速度的大小和方向，再由運動學位移公式求出勻強電場的寬度；
（3）從A開始粒子分別在兩個磁場中做勻速圓周運動，根據周期公式分別寫出在磁場中運動的時間通項，由此可得粒子在什么時候經過x軸．

解答 解：（1）在磁場中運動洛倫茲力提供圓周運動向心力有：
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
如圖畫出粒子在磁場中運動軌跡，

根據幾何關系有：
${x}_{1}=Rcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$
${y}_{1}=R（1+sin30°）=\frac{3}{2}R=\frac{3m{v}_{0}}{2qB}$
位置坐標為：$（\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}，\frac{3m{v}_{0}}{2qB}）$
（2）由幾何關系可知粒子垂直電場線進入勻強電場做類平拋運動
qE=ma
${v}_{y}=\sqrt{2a{y}_{1}}$
粒子到達A點的速度大小$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
設速度與x軸的夾角為θ，則：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以：θ=45°
由v_y=at₁解得：
${t}_{1}=\frac{3m}{qB}$
x₂=v₀t₁
聯立以上各式解得：L=x₁+x₂=$（\frac{\sqrt{3}}{2}+3）\frac{m{v}_{0}}{qB}$
（3）粒子在磁場中運動周期：T=$\frac{2πr}{v}$
粒子到達x軸時可能時刻：
$t=n×\frac{T}{4}$  （n=1，2，3…）
所以粒子經過x軸的時刻$t=\frac{nπm}{2qB}$ （n=1，2，3…）
答：（1）帶電粒子通過傾斜虛線時的位置坐標為$（\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}，\frac{3m{v}_{0}}{2qB}）$；
（2）粒子到達A點時速度的大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$和方向以及勻強電場的寬度L為$（\frac{\sqrt{3}}{2}+3）\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（3）若從粒子到達A處開始計時，粒子經過x軸的時刻為$\frac{nπm}{2qB}$ （n=1，2，3…）．

點評 本題考查了僅僅由電場力做類平拋運動，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，學會如何處理類平拋運動及勻速圓周運動的問題，形成一定的解題能力．同時注意幾何知識的熟練應用，并強調洛倫茲力的方向的重要性及運動軌跡的多樣性．