Question

10．如圖所示在水平地面上固定一個半徑為R的半圓形軌道，其中圓弧部分光滑，水平段長為L，一質量為m的小物塊緊靠一根被壓縮的彈簧固定在水平軌道的最右端，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)突然釋放小物塊，小物塊被彈出，恰好能夠到達圓弧軌道的最高點A，取g=10m/s²，且彈簧長度忽略不計，求：
（1）小物塊的落點距O′的距離；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）小物塊被彈出恰好能夠運動到圓弧軌道的最高點A時，由重力提供向心力，列式可求出小物塊在圓弧頂端A處速度大小，再根據平拋運動的知識求水平位移知小物塊的落點距O′的水平距離；
（2）小物塊在圓弧軌道上從最低點運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律列式，小物塊被彈簧彈出到運動到圓弧軌道的最低點的過程由功能關系列式，小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能就等于小物塊被彈出時的動能，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設小物塊被彈簧彈出時的速度大小為v₁，到達圓弧軌道的最低點時速度大小為v₂，到達圓弧軌道的最高點時速度大小為v₃，因為小物塊恰好能到達圓弧軌道的最高點，故向心力剛好由重力提供，有：
$m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$=mg…①
小物塊由A射出后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律有：
x=v₃t…②
2R=$\frac{1}{2}$gt²…③
聯(lián)立①②③解得：x=2R，
即小物塊的落點距O′的距離為2R
（2）小物塊在圓弧軌道上從最低點運動到最高點的過程中，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$=mg×2R+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{3}^{2}$…④
小物塊被彈簧彈出到運動到圓弧軌道的最低點的過程由功能關系得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{2}^{2}$+μmgL…⑤
小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能就等于小物塊被彈出時的動能，故有：
E_p=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$…⑥
由①④⑤⑥聯(lián)立解得：E_p=$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．
答：（1）小物塊的落點距O′的距離為2R；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能為$\frac{5}{2}$mgR+μmgL．

點評 本題是圓周運動、平拋運動與機械能守恒定律和動能定理的綜合應用，關鍵分析物塊在最高點和最低點的向心力來源，判斷能量如何轉化，再列式求解．綜合型較強，難度中等．