Question

11．探月工程三期飛行試驗(yàn)器于2014年10月24日2時(shí)在中國(guó)西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛行試驗(yàn)器飛抵距月球6萬(wàn)千米附近進(jìn)入月球引力影響區(qū)，開始在月球近旁轉(zhuǎn)向飛行，最終進(jìn)入距月球表面h=200km的圓形工作軌道．設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 飛行試驗(yàn)器繞月球運(yùn)行的周期為2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． 飛行試驗(yàn)器工作軌道處的重力加速度為（$\frac{R}{R+h}$）²g
• C． 飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的繞行速度為R$\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
• D． 月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$

Answer 1

分析 月球表面重力與萬(wàn)有引力相等，衛(wèi)星繞月轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力．

解答 解：令月球質(zhì)量為M，在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
A、飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$，故A錯(cuò)誤；
B、在飛行器工作軌道處的重力加速度g$′=\frac{GM}{（R+h）^{2}}=g\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，故B正確；
C、飛行器工作軌道上的繞行速度滿足$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$即v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$，故C錯(cuò)誤；
D、月球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{g{R}^{2}}{G\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4GπR}$，故D正確．
本題選擇錯(cuò)誤的是，故選：AC．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力與星球表面重力相等是解決此類問(wèn)題的主要入手點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握相關(guān)公式及公式變換．