Question

14．假設(shè)宇宙中有兩顆相距無限遠(yuǎn)的行星A和B，自身球體半徑分別為R_A和R_B．兩顆行星各自周圍的衛(wèi)星的軌道半徑的三次方（r³）與運(yùn)行公轉(zhuǎn)周期的平方（T²）的關(guān)系如圖所示；T₀為衛(wèi)星環(huán)繞各自行星表面運(yùn)行的周期．則（　　）

• A． 行星A的質(zhì)量小于行星B的質(zhì)量
• B． 行星A的密度小于行星B的密度
• C． 行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
• D． 當(dāng)兩行星周圍的衛(wèi)星的運(yùn)動軌道半徑相同時，行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，得出衛(wèi)星的周期與行星的質(zhì)量、半徑之間的關(guān)系，然后進(jìn)行比較；結(jié)合萬有引力提供向心力，分別寫出第一宇宙速度的表達(dá)式，然后比較它們的大小關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，
對于環(huán)繞行星A表面運(yùn)行的衛(wèi)星，有：
${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{A}}^{3}}{G{M}_{A}}}$…①
對于環(huán)繞行星B表面運(yùn)行的衛(wèi)星，有：
${T}_{0}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{B}}^{3}}{G{M}_{B}}}$…②
聯(lián)立①②得：$\frac{{{R}_{A}}^{3}}{{M}_{A}}=\frac{{{R}_{B}}^{3}}{{M}_{B}}$…③
由圖知，R_A＞R_B，所以M_A＞M_B，故A錯誤．
B、A行星質(zhì)量為：M_A=${ρ}_{A}•\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}$
B行星的質(zhì)量為：${M}_{B}={ρ}_{B}•\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}$，
代入③得：$\frac{{{R}_{A}}^{3}}{{ρ}_{A}•\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}}=\frac{{{R}_{B}}^{3}}{{ρ}_{B}•\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}}$
解得：ρ_A=ρ_B，故B錯誤．
C、行星的近地衛(wèi)星的線速度即第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}Gρπ}R$∝R，因?yàn)镽_A＞R_B，所以v_A＞v_B，故C錯誤．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$知，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，由于M_A＞M_B，行星運(yùn)動的軌道半徑相等，則行星A的衛(wèi)星的向心加速度大于行星B的衛(wèi)星的向心加速度，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查考生從圖象獲取信息的能力，萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力，掌握萬有引力和向心力的表達(dá)式并能靈活運(yùn)用是正確解題的關(guān)鍵．