Question

4．如圖所示，質(zhì)量為m，邊長(zhǎng)為l的正方形平板與彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，另一端固定于地面，平板處于平衡狀態(tài)．質(zhì)量為m的第一個(gè)小球從平臺(tái)以一定速度垂直于平板的左邊緣水平拋出，并與平板發(fā)生完全非彈性碰撞（設(shè)平臺(tái)與板間高度差為h，拋出點(diǎn)在平板的左邊緣正上方）．隔一段時(shí)間后，以相同速度拋出第二個(gè)小球．（假定在任何情況下平板始終保持水平，忽略平板在水平方向上的運(yùn)動(dòng)，且為方便計(jì)算起見(jiàn)，設(shè)h=3$\frac{mg}{k}$）
（1）求第一個(gè)小球落到平臺(tái)上形成的振子系統(tǒng)的周期和頻率；
（2）在第二個(gè)小球能與平板不發(fā)生碰撞的情況下，其拋出速度的最小值為多少？
（3）在（2）的情況下，兩小球拋出的時(shí)間差是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)彈簧振子的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，m是振子的質(zhì)量，來(lái)求振子系統(tǒng)的周期，由f=$\frac{1}{T}$求頻率．
（2）研究第一個(gè)球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落在木板上時(shí)豎直分速度，由動(dòng)量守恒定律求出球與木板碰后的共同速度，從而得到振幅，根據(jù)旋轉(zhuǎn)參考矢量與y軸負(fù)方向的夾角滿足的條件求解．
（3）由下落的高度求出第一個(gè)小球下落到平板的時(shí)間．由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出碰撞后平板從原平衡位置壓縮到最低位置的時(shí)間，結(jié)合周期性求解兩小球拋出的時(shí)間差．

解答 解：（1）碰撞前后小球與平板（總質(zhì)量為2m一起在新的平衡位置上下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖中虛線所示，攏子系統(tǒng)的周期為 T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
振子系統(tǒng)的頻率為 γ=$\frac{1}{T}$=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$
（2）碰撞前，第一個(gè)小球在豎直方向的速度為 v_y=$\sqrt{2gh}$
發(fā)生完全彈性碰撞，豎直方向動(dòng)量近似守恒，取向下為正方向，則有 mv_y=2mv_y′
則碰撞后平板運(yùn)動(dòng)的速度為 v_y′=$\frac{1}{2}{v}_{y}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gh}$
振子的角頻率ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{k}{m}}$
振子振幅為 A=$\sqrt{\frac{（{v}_{y}′）^{2}}{ω{\;}^{2}}+（\frac{mg}{k}）^{2}}$=2$\frac{mg}{k}$
 
旋轉(zhuǎn)參考矢量與y軸負(fù)方向的夾角滿足
  cosα=$\sqrt{\frac{mg}{mg+kh}}$=$\frac{1}{2}$，則 α=$\frac{π}{3}$
設(shè)析運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)第二個(gè)小球正好下落到這一高度，則第二個(gè)小球下落用時(shí)
   t=$\sqrt{\frac{2（h+\frac{mg}{k}+A）}{g}}$=2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
由此可以求出兩者不發(fā)生碰撞時(shí)，第二個(gè)小球的最小拋出速度為 v₀=$\frac{l}{t}$=$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（3）第一個(gè)小球下落到平板用時(shí) t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$
碰撞后平板從原平衡位置壓縮到最低位置用時(shí) t₂=$\frac{π-α}{ω}$=$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
設(shè)兩球拋出的時(shí)間相差△t，則△t+t=t₁+t₂
則得△t=t₁+t₂-t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+$\frac{2π}{3}$$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$
考慮到板往復(fù)一次用時(shí)T=2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，第二個(gè)小球拋出時(shí)間可以是振子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于一個(gè)周期后，則兩小球拋出的時(shí)間差為
△t=$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非負(fù)整數(shù)）
答：（1）第一個(gè)小球落到平臺(tái)上形成的振子系統(tǒng)的周期為2π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$，頻率為$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{k}{2m}}$；
（2）在第二個(gè)小球能與平板不發(fā)生碰撞的情況下，其拋出速度的最小值為$\frac{l}{6}$$\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（3）在（2）的情況下，兩小球拋出的時(shí)間差是$\sqrt{\frac{6m}{k}}$+（2n+$\frac{2}{3}$）π$\sqrt{\frac{2m}{k}}$+2$\sqrt{\frac{3m}{k}}$（n取非負(fù)整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)要分析小球和振子的運(yùn)動(dòng)情況，掌握振子的周期公式，明確簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性，關(guān)鍵要分析隱含的臨界條件．